Aralarında asal ne demek sorusunun kısa cevabı şudur: İki ya da daha fazla sayının EBOB'u 1 ise bu sayılar aralarında asaldır. Sayıların kendisinin asal olması gerekmez; 8 ve 9 ikisi de bileşik olsa da aralarında asaldır. Ayrıca 1, her doğal sayıyla aralarında asaldır, çünkü EBOB(1, n) her zaman 1'dir.
Matematikte bazı kavramlar, ilk bakışta karmaşık gibi görünse de aslında çok mantıklıdır. Aralarında asal sayılar da bunlardan biridir. Özellikle LGS ve TYT sınavlarında EBOB soruları çözülürken bu kavram sık sık karşımıza çıkar. Bu yazıda "aralarında asal ne demek" sorusunu net bir şekilde yanıtlayacak, örneklerle pekiştireceğiz. Yazıyı bitirdiğinde iki sayının aralarında asal olup olmadığını kendin kontrol edebileceksin.
Aralarında Asal Hangi Sınıfta, Hangi Ünitede?
Aralarında asal, 8. sınıf matematikte Sayılar ve İşlemler alanının Çarpanlar ve Katlar konusunda işlenir. Bu konuda önce bir sayının çarpanlarını, sonra EBOB ve EKOK'u öğrenirsin; aralarında asal bunların hemen ardından gelir. Senden beklenen, verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirleyebilmendir. Aynı bilgiyi TYT matematiğe hazırlanırken EBOB-EKOK konusunda yeniden kullanırsın.
Asal Sayı Nedir?
Asal sayı, 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayıdır. Aralarında asallığa geçmeden önce bu tanımı bilmek işini kolaylaştırır. Örneğin 7'nin yalnızca 1 ve 7 bölenleri vardır, bu yüzden 7 asal sayıdır.
Mantık: Bir sayının asal olup olmadığını bölenlerine bakarak anlarsın. 15'in bölenleri 1, 3, 5 ve 15'tir; 3 ve 5 de bölen olduğu için 15 asal değildir.
Aralarında Asal Ne Demek?
İki sayının aralarında asal olması, bu iki sayının ortak böleninin sadece 1 olması anlamına gelir. Yani iki sayının en büyük ortak böleni (EBOB) 1'e eşittir.
📌 Tanım: İki doğal sayının aralarında asal olması için EBOB(a, b) = 1 olmalıdır. Bu, iki sayının 1 dışında ortak bir böleninin bulunmadığı anlamına gelir.
Dikkat edilmesi gereken en önemli nokta şudur: İki sayının aralarında asal olması için sayıların kendisinin asal sayı olması gerekmez.
Başka bir deyişle: iki sayının en büyük ortak böleni, yani EBOB'u 1'e eşitse bu iki sayı aralarında asaldır.
Bölenleri Yazarak Kontrol: 8 ile 9 ve 6 ile 9
Örnek üzerinden düşünelim. 8 ile 9 sayılarını ele alalım.
- 8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8
- 9'un bölenleri: 1, 3, 9
Bu iki sayının ortak böleni yalnızca 1'dir. Yani EBOB(8, 9) = 1. Dolayısıyla 8 ile 9 aralarında asaldır.
Şimdi 6 ile 9'a bakalım.
- 6'nın bölenleri: 1, 2, 3, 6
- 9'un bölenleri: 1, 3, 9
Ortak bölenler: 1 ve 3. Yani EBOB(6, 9) = 3. Bu iki sayı aralarında asal değildir.
Bu karşılaştırma bir şeyi daha gösterir: İki sayının aralarında asal olması için bu sayıların kendisinin asal sayı olması gerekmez. Yukarıdaki örnekte 8 ve 9'un ikisi de bileşik sayıdır. Yine de aralarında asaldır.
Günlük hayattan: 12 kırmızı ve 18 mavi kalemi kutulara eşit paylaştırırsan en fazla 6 kutu yaparsın, çünkü EBOB(12, 18) = 6'dır. 8 kırmızı ve 9 mavi kalemde ise tek seçenek 1 kutudur. Çünkü EBOB(8, 9) = 1'dir, yani bu iki sayı aralarında asaldır.
Aralarında Asal Sayılar Nelerdir?
Aralarında asal olan sayılar, 1 dışında hiçbir ortak böleni olmayan sayı çiftleridir. Hem asal hem de bileşik sayılar bu özelliğe sahip olabilir.
Aralarında asal olan çiftler:
- 8 ve 9 → {1,2,4,8} ∩ {1,3,9} = {1} → Ortak bölen: sadece 1 ✅
- 4 ve 9 → {1,2,4} ∩ {1,3,9} = {1} → Ortak bölen: sadece 1 ✅
- 5 ve 7 → Her ikisi de asal, ortak bölen: sadece 1 ✅
Aralarında asal olmayan çiftler:
- 6 ve 9 → Ortak bölen: 1 ve 3 ❌
- 4 ve 6 → Ortak bölen: 1 ve 2 ❌
💡 Önemli Not: İki sayının ikisi de bileşik olabilir ve yine de aralarında asal olabilirler. 8 ve 9 bileşik sayılardır ancak aralarında asaldır.
EBOB'a Göre Aralarında Asal Sayılar: Daha Fazla Örnek
Aralarında asal sayılar, 1 dışında hiçbir ortak böleni bulunmayan sayı çiftleridir.
Bu çiftler hem iki asal sayıdan, hem iki bileşik sayıdan, hem de biri asal biri bileşik olmak üzere karışık sayılardan oluşabilir. Önemli olan tek şey EBOB'un 1 olmasıdır.
Aralarında asal olan bazı çiftler:
- 4 ve 9 → EBOB = 1 ✅
- 8 ve 15 → EBOB = 1 ✅
- 7 ve 10 → EBOB = 1 ✅
- 14 ve 15 → EBOB = 1 ✅
- 25 ve 36 → EBOB = 1 ✅
Aralarında asal olmayan bazı çiftler:
- 4 ve 6 → EBOB = 2 ❌
- 9 ve 15 → EBOB = 3 ❌
- 12 ve 18 → EBOB = 6 ❌
Burada dikkat çeken bir şey var: 25 ve 36 tamamen bileşik sayılardır. 25 = 5², 36 = 2² × 3². Ortak asal çarpanları yoktur ve aralarında asaldır. Bu örnek, "aralarında asal" kavramının asal sayılarla karıştırılmaması gerektiğini net biçimde gösterir.
Kural: Ardışık iki doğal sayı, örneğin 14 ve 15, her zaman aralarında asaldır. Çünkü iki sayının ortak böleni farklarını da böler; fark 1 olduğu için ortak bölen yalnızca 1 olabilir.
Aralarında Asal Sayılar Nasıl Bulunur?
İki sayının aralarında asal olup olmadığını anlamak için iki yöntem kullanılabilir.
Yöntem 1: Bölenler Listesi
Her iki sayının bölenlerini listeleyin, ortak bölenlere bakın. Yalnızca 1 varsa sayılar aralarında asaldır.
Bölenler listesi: Her iki sayının bölenlerini ayrı ayrı yaz. Ortak bölenlere bak. Eğer tek ortak bölen 1 ise sayılar aralarında asaldır. Küçük sayılar için hızlıdır ama büyük sayılarda zaman alır.
Yöntem 2: EBOB Hesabı (Önerilen)
Sınavlarda en hızlı yöntem EBOB hesaplamaktır.
Asal çarpanlara ayırma ve EBOB hesabı (önerilen): Her iki sayıyı asal çarpanlarına ayır. Ortak asal çarpanları çarp, EBOB'u bul. EBOB = 1 çıkıyorsa sayılar aralarında asaldır. Sınavlarda bu yöntem çok daha hızlıdır.
Aralarında Asal Hesaplama Örneği: 24 ve 35
- Sayıları asal çarpanlarına ayır: 24 = 2³ × 3, 35 = 5 × 7.
- Ortak asal çarpan var mı diye bak: 24'te 2 ve 3, 35'te 5 ve 7 var. Ortak olan yok.
- Ortak çarpan yoksa EBOB(24, 35) = 1 olur.
- Sonuç: 24 ve 35 aralarında asaldır.
Aralarında Asal Hesaplama: İki Örnek Daha
Örnek: 14 ve 15 aralarında asal mı?
- 14 = 2 × 7
- 15 = 3 × 5
- Ortak asal çarpan yok → EBOB(14, 15) = 1 → Aralarında asaldır ✅
Örnek: 12 ve 18 aralarında asal mı?
- 12 = 2² × 3
- 18 = 2 × 3²
- Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3 → EBOB = 2 × 3 = 6 → Aralarında asal değildir ❌
1 ile Her Sayı Aralarında Asal mı?
✅ Cevap: Evet! 1 sayısının tek böleni kendisidir. Bu nedenle 1 ile herhangi bir doğal sayının EBOB'u daima 1'dir. EBOB(1, n) = 1 her zaman geçerlidir.
Yani 1, tüm doğal sayılarla aralarında asaldır.
1 ile 7, 1 ile 100: Sonuç Neden Hiç Değişmez?
1 sayısının tek böleni yine kendisidir, yani sadece 1'dir. Bu yüzden 1 ile herhangi bir doğal sayının ortak böleni her zaman yalnızca 1 olur.
EBOB(1, n) = 1 ifadesi her n değeri için geçerlidir.
- EBOB(1, 7) = 1 ✅
- EBOB(1, 100) = 1 ✅
- EBOB(1, 1.000.000) = 1 ✅
Yani 1 sayısı, tüm doğal sayılarla aralarında asaldır.
Burada öğrencilerin sık düştüğü bir tuzak var: "1 asal sayı değil, o zaman aralarında asal olamaz" diye düşünmek. Bu yanlıştır. 1'in asal sayı olup olmaması, aralarında asallık tanımıyla ilgili değildir. Tanım yalnızca EBOB'a bakar.
Dikkat: 1 ile 1 de aralarında asaldır. İki sayının farklı olması şart değildir; ortak bölen yalnızca 1 olduğu için EBOB(1, 1) = 1 olur.
1 ile Her Sayı: Hızlı Karar Tablosu
| Sayı Çifti | Ortak Bölenler | EBOB | Aralarında Asal mı? |
|---|---|---|---|
| 1 ve 1 | 1 | 1 | Evet |
| 1 ve 5 | 1 | 1 | Evet |
| 1 ve 7 | 1 | 1 | Evet |
| 2 ve 4 | 1, 2 | 2 | Hayır |
| 8 ve 15 | 1 | 1 | Evet (ikisi de bileşik) |
| 9 ve 10 | 1 | 1 | Evet (ardışık) |
| 21 ve 3 | 1, 3 | 3 | Hayır |
| 24 ve 35 | 1 | 1 | Evet |
Hatırlatma: Tablodaki 2 ve 4 ile 21 ve 3 çiftlerinde büyük sayı küçük sayının katıdır. Böyle çiftlerde EBOB küçük sayının kendisi olur; küçük sayı 1 değilse çift aralarında asal olamaz.
6 ile Aralarında Asal Olan Sayılar
6 = 2 × 3 → 6 ile aralarında asal olmak için bir sayının ne 2'nin ne de 3'ün katı olmaması gerekir.
1–20 arasında: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19 aralarında asaldır.
1'den 20'ye Kadar 6 ile Aralarında Asal Olan Sayılar
6'nın asal çarpanlarını bulalım:
6 = 2 × 3
Demek ki 6 ile aralarında asal olmak için bir sayının ne 2'nin ne de 3'ün katı olmaması gerekir. Bu iki koşulun ikisi de aynı anda sağlanmalıdır.
1'den 20'ye kadar olan sayılar arasında 6 ile aralarında asalları bulalım:
| Durum | 1–20 arasındaki sayılar |
|---|---|
| Aralarında asal olanlar: | 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19 |
| Aralarında asal olmayanlar: | 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 |
Kontrol edelim:
- EBOB(6, 5) = 1 ✅
- EBOB(6, 7) = 1 ✅
- EBOB(6, 4) = 2 ❌ (2'nin katı)
- EBOB(6, 9) = 3 ❌ (3'ün katı)
- EBOB(6, 10) = 2 ❌ (2'nin katı)
- EBOB(6, 15) = 3 ❌ (3'ün katı)
Kısa yol: 6 ile aralarında asal olan sayılar, hem 2'ye hem de 3'e bölünemeyen sayılardır.
15 ile Aralarında Asal Olan Sayılar
15 = 3 × 5 → 15 ile aralarında asal olmak için sayının ne 3'e ne 5'e bölünememesi gerekir.
1–20 arasında: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19 aralarında asaldır.
🎯 Genel Kural: a sayısı ile aralarında asal olanları bulmak için → a'yı asal çarpanlarına ayır, bu çarpanların hiçbirinin katı olmayan sayıları bul.
1'den 20'ye Kadar 15 ile Aralarında Asal Olan Sayılar
15'in asal çarpanları:
15 = 3 × 5
Yani 15 ile aralarında asal olmak için bir sayının ne 3'ün ne de 5'in katı olmaması gerekir.
1'den 20'ye kadar olan sayılar arasında 15 ile aralarında asalları bulalım:
| Durum | 1–20 arasındaki sayılar |
|---|---|
| Aralarında asal olanlar: | 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19 |
| Aralarında asal olmayanlar: | 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20 |
Kontrol edelim:
- EBOB(15, 8) = 1 ✅
- EBOB(15, 14) = 1 ✅
- EBOB(15, 6) = 3 ❌ (3'ün katı)
- EBOB(15, 10) = 5 ❌ (5'in katı)
- EBOB(15, 20) = 5 ❌ (5'in katı)
Genel kural şudur: Herhangi bir a sayısı ile aralarında asal olan sayıları bulmak için önce a'yı asal çarpanlarına ayır, ardından bu çarpanların hiçbirinin katı olmayan sayıları bul.
Aralarında Asal Hızlı Özet
- İki sayının EBOB'u 1 ise bu sayılar aralarında asaldır.
- Sayıların asal olması şart değildir; 8 ve 9 bileşik olsa da aralarında asaldır.
- Ardışık iki doğal sayı, örneğin 9 ve 10, her zaman aralarında asaldır.
- 1, her doğal sayıyla aralarında asaldır.
- Hızlı yöntem: sayıları asal çarpanlarına ayır, ortak çarpan yoksa EBOB = 1 olur.
- Aralarında asal iki sayının EKOK'u, sayıların çarpımına eşittir; örneğin EKOK(8, 9) = 72 olur.
Sık Yapılan Hatalar
Her iki sayının da asal sayı olması gerektiğini sanmak
"Aralarında asal" ile "asal sayı" tamamen farklı kavramlardır. 8 ve 9 bileşik ama aralarında asal.
"Aralarında asal" ifadesi, sayıların asal olduğu anlamına gelmez. İki bileşik sayı da aralarında asal olabilir. Örneğin 8 ve 9 bileşik sayılardır ancak EBOB(8, 9) = 1 olduğu için aralarında asaldır. "Aralarında asal" ve "asal sayı" kavramları birbirinden tamamen bağımsızdır.
Ortak bölenleri kontrol etmeden karar vermek
Görünüşe göre tahmin yapmak yerine mutlaka EBOB hesabı yapın. 9 ve 25 bileşik görünse de EBOB(9, 25) = 1 olduğu için aralarında asaldır.
Büyük ve tanıdık görünmeyen sayılarla çalışırken sezgiyle karar vermeye çalışmak hata üretir. Örneğin 9 ve 25 aralarında asal olmayacakmış gibi görünebilir, ikisi de bileşik ve ikisi de tam karedir. Ama 9 = 3², 25 = 5², ortak asal çarpan yok, EBOB = 1, aralarında asaldır.
1'in özel durumunu yanlış yorumlamak
1 asal sayı değildir, ama tüm doğal sayılarla aralarında asaldır. Bu iki bilgi çelişmez.
Bazı öğrenciler 1'in asal sayı olmadığı için başka sayılarla aralarında asal olamayacağını düşünür. Bu yanlıştır. 1 asal sayı değildir, bu doğrudur. Ancak aralarında asallık tanımı asal sayı olmayı gerektirmez. EBOB(1, n) = 1 olduğu için 1 her sayıyla aralarında asaldır.
Aralarında Asal Mini Test
Aşağıdaki beş soruyu kendi başına çöz, sonra cevap anahtarına bak.
- 8 ve 15 aralarında asal mıdır?
- 6 ve 9 aralarında asal mıdır?
- 1 ile 100 aralarında asal mıdır?
- 10 ve 21 aralarında asal mıdır?
- 14 ve 35 aralarında asal mıdır?
Cevap Anahtarı
- Evet. EBOB(8, 15) = 1; ikisi de bileşik olsa da 1 dışında ortak bölen yoktur.
- Hayır. EBOB(6, 9) = 3 olduğu için ortak bölen 3'tür.
- Evet. EBOB(1, 100) = 1; 1 her doğal sayıyla aralarında asaldır.
- Evet. 10 = 2 × 5, 21 = 3 × 7; ortak çarpan olmadığı için EBOB = 1 olur.
- Hayır. 14 = 2 × 7, 35 = 5 × 7; ortak çarpan 7 olduğu için EBOB = 7 olur.
