8. sınıf matematik çarpanlar ve katlar konusunda bir sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılara o sayının çarpanları, bir sayının pozitif tam sayılarla çarpımından elde edilen sayılara ise katları denir. Bu konuda sayılar asal çarpanlarının üslü ifadeleriyle çarpımı şeklinde yazılır (örneğin 72 = 2³ · 3²), iki sayının EBOB ve EKOK'u hesaplanır ve iki sayının aralarında asal olup olmadığı belirlenir.
Ders özeti PDF: 8. sınıf çarpanlar ve katlar ders özetini PDF olarak indir (3 sayfa: kavram özeti, 5 çözümlü örnek, cevap anahtarlı 10 soruluk test).
Bu çarpanlar ve katlar konu anlatımı, 8. sınıf öğrencisi olarak konuyu ilk kez çalışan ya da LGS'ye hazırlanırken tekrar eden sana göre hazırlandı. Çarpan bulma, asal çarpanlara ayırma, EBOB ve EKOK hesabı, problemde hangisinin kullanılacağını gösteren karar tablosu, yeni nesil problemler ve cevap anahtarlı mini test adım adım aşağıda.
72 önce 8 · 9 olarak yazılır, sonra dallar yalnızca asal sayılar kalana kadar ayrılır.
Bu Konu Hangi Sınıfta ve LGS'de Nerede?
Çarpanlar ve katlar, 8. sınıf matematiğin "Sayılar ve İşlemler" öğrenme alanındaki ilk konudur. 2026-27 öğretim yılında 8. sınıfta önceki öğretim programı okutulduğu için resmî terim "kazanım"dır. Konunun üç kazanımı şunları kapsar:
- M.8.1.1.1: Bir pozitif tam sayının pozitif çarpanlarını bulma ve sayıyı asal çarpanlarının üslü ifadeleriyle çarpımı şeklinde yazma.
- M.8.1.1.2: İki doğal sayının EBOB ve EKOK'unu hesaplama, ilgili problemleri çözme.
- M.8.1.1.3: İki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirleme.
Millî Eğitim Bakanlığının (MEB) 2026-27 taslak yıllık planında konu 1. haftada (14-18 Eylül) yer alıyor; okulunun kesin planına göre değişebilir. Konu, LGS'nin (Liselere Geçiş Sınavı) sayısal oturumundaki matematik testinin kapsamındadır. LGS yalnızca sınavla öğrenci alan liseler için yapılır; öğrencilerin büyük çoğunluğu adrese dayalı yerleştirmeyle liseye geçer.
Çarpan ve Kat Nedir?
Çarpanlar ve katlar nedir sorusunun kısa cevabı iki tanımdır:
- Çarpan: Bir sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayıdır. 12'nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir.
- Kat: Bir sayının pozitif tam sayılarla çarpılmasıyla elde edilen sayıdır. 12'nin katları 12, 24, 36, 48, ... diye sonsuza kadar gider.
- Asal çarpan: Bir sayının çarpanları arasında yer alan asal sayıdır. 12'nin asal çarpanları 2 ve 3'tür.
| Özellik | Çarpan | Kat |
|---|---|---|
| Nasıl bulunur? | Sayıyı kalansız bölen sayılar aranır | Sayı 1, 2, 3, ... ile çarpılır |
| Sayıya göre büyüklük | Sayıdan küçük ya da ona eşit | Sayıdan büyük ya da ona eşit |
| Kaç tane var? | Sınırlı sayıda | Sonsuz sayıda |
| 12 için örnek | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 12, 24, 36, 48, ... |
İki kavram birbirinin tersidir: 3, 12'nin çarpanıysa 12 de 3'ün katıdır.
Bir Sayının Pozitif Çarpanları Nasıl Bulunur?
Çarpanları rastgele denersen birini kaçırırsın. Bunun yerine çarpımı sayıyı veren ikilileri, yani çarpan çiftlerini sırayla yaz.
Çarpan Çiftleri Yöntemi
Örnek: 72'nin bütün pozitif çarpanlarını bulalım.
- 1'den başla: 1 · 72 = 72.
- 2, 3, 4, ... sayılarını sırayla dene; 72'yi kalansız bölen her sayının eşini yaz.
- 5 ve 7 72'yi bölmez, bu yüzden atlanır.
- Çiftlerdeki bütün sayıları küçükten büyüğe sırala.
| Küçük çarpan | Büyük çarpan | Kontrol |
|---|---|---|
| 1 | 72 | 1 · 72 = 72 |
| 2 | 36 | 2 · 36 = 72 |
| 3 | 24 | 3 · 24 = 72 |
| 4 | 18 | 4 · 18 = 72 |
| 6 | 12 | 6 · 12 = 72 |
| 8 | 9 | 8 · 9 = 72 (dur) |
Sonuç: 72'nin pozitif çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 ve 72'dir; toplam 12 tane.
Nerede Durmalıyım?
Çiftlerdeki iki sayı birbirine yaklaştıkça sona gelirsin. 72'de 8 · 9 çiftinden sonra denenecek sayı 9'dur, ama 9 zaten bu çiftte var. Artık yeni çift çıkmaz, liste tamamdır. Kısacası küçük çarpan büyük çarpanı yakaladığında ya da geçtiğinde dur. Çarpanları sayarken 1'i ve sayının kendisini listeye yazmayı unutma.
Asal Çarpanlara Ayırma ve Üslü Gösterim
Asal çarpanlara ayırma, bir sayıyı yalnızca asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaktır. Bunu iki yolla yapabilirsin; ikisi de aynı sonucu verir.
Bölen Listesi (Merdiven) Yöntemi
Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye devam et, 1'e ulaşınca dur. 72 için:
- 72 : 2 = 36
- 36 : 2 = 18
- 18 : 2 = 9
- 9 : 3 = 3
- 3 : 3 = 1
Sağ sütundaki bölenler 2, 2, 2, 3, 3'tür. Aynı çarpanları üslü yazarsan 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3² olur.
Çarpan Ağacı Yöntemi
Sayıyı herhangi iki çarpana ayır, sonra her dalı asal sayı kalana kadar ayırmayı sürdür. Yukarıdaki çarpan ağacında 72 önce 8 · 9 olarak yazıldı; 8, 2 · 4'e ve 4 de 2 · 2'ye ayrıldı; 9 ise 3 · 3 oldu. Dalların ucunda 2, 2, 2, 3, 3 kaldı. 72'yi 6 · 12 diye başlatsaydın da aynı asal çarpanlara ulaşırdın.
Sonucu üslü yazmak, sıradaki konu olan Üslü İfadeler için de hazırlıktır: aynı sayının tekrarlanan çarpımını üs ile kısaltmayı burada zaten kullanıyorsun.
Asal Sayıları Kısaca Hatırla
Asal sayı, 1'den ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayıdır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 1 asal sayı değildir, bu yüzden asal çarpanlara ayırmada yazılmaz. 2, tek çift asal sayıdır. Daha fazla bilgi için asal sayı testleri ve kurallar yazısına bakabilirsin.
EBOB ve EKOK Nasıl Bulunur?
EBOB (en büyük ortak bölen), iki ya da daha fazla sayıyı birlikte kalansız bölen en büyük pozitif tam sayıdır. EKOK (en küçük ortak kat), sayıların ortak katlarının en küçüğüdür. EBOB EKOK nasıl bulunur sorusunun en güvenli cevabı asal çarpanlara ayırmaktır.
EBOB Nasıl Bulunur?
- Sayıları asal çarpanlarına ayır.
- İki sayıda da bulunan (ortak) asal çarpanları seç.
- Her ortak asal çarpanın en küçük üssünü al.
- Bunları çarp.
Örnek: 24 ve 36 için 24 = 2³ · 3 ve 36 = 2² · 3². Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür. 2'nin küçük üssü 2², 3'ün küçük üssü 3¹'dir. EBOB(24, 36) = 2² · 3 = 12.
EKOK Nasıl Bulunur?
- Sayıları asal çarpanlarına ayır.
- Ortak olsun olmasın bütün asal çarpanları yaz.
- Her asal çarpanın en büyük üssünü al.
- Bunları çarp.
Aynı örnekte 2'nin büyük üssü 2³, 3'ün büyük üssü 3²'dir. EKOK(24, 36) = 2³ · 3² = 72. Kontrol et: iki doğal sayı için EBOB · EKOK, sayıların çarpımına eşittir. 12 · 72 = 864 ve 24 · 36 = 864; sonuç doğru.
İki sayı birlikte bölünür; ikisini de bölen bölenlerin çarpımı EBOB, bütün bölenlerin çarpımı EKOK'tur.
| EBOB | EKOK | |
|---|---|---|
| Tanım | Sayıları birlikte bölen en büyük sayı | Sayıların ortak katlarının en küçüğü |
| Bulma kuralı | Ortak asal çarpanların en küçük üssü | Bütün asal çarpanların en büyük üssü |
| Sonuç sayılara göre | Küçük sayıdan büyük olamaz | Büyük sayıdan küçük olamaz |
| 24 ve 36 için | 12 | 72 |
EBOB mu EKOK mu? Problemden Anlama Tablosu
Problemi okurken önce ne olduğuna bak: büyük bir şey küçük eş parçalara mı bölünüyor, yoksa küçük parçalar birleşip büyük bir bütün mü oluşturuyor?
| EBOB sorusu | EKOK sorusu |
|---|---|
| "en büyük" parça, kutu, paket | "en az kaç gün, dakika sonra tekrar birlikte" |
| eşit parçalara ayırma, artmadan bölme | birlikte çalan zil, birlikte kalkan otobüs |
| en az sayıda kare fayans ya da parça | en küçük kare ya da küp oluşturma |
| paketlere eşit dağıtma | ortak zamanı, ortak uzunluğu bulma |
| Büyük bütün küçük parçalara bölünür | Küçük parçalar birleşip büyük bütün olur |
| Kontrol: sonuç verilen sayıların küçüğünden büyük olamaz | Kontrol: sonuç verilen sayıların büyüğünden küçük olamaz |
"En az" kelimesi tek başına karar verdirmez: "en az kaç fayans" bir EBOB, "en az kaç dakika sonra" bir EKOK sorusudur. Her zaman bağlama bak.
Aralarında Asal Sayılar
Aralarında asal sayılar, 1'den başka ortak pozitif böleni olmayan, yani EBOB'u 1 olan sayılardır. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.
- 8 = 2³ ve 15 = 3 · 5. Ortak asal çarpan yok, EBOB(8, 15) = 1. 8 ve 15 aralarında asaldır, oysa ikisi de asal değildir.
- 14 = 2 · 7 ve 21 = 3 · 7. İkisinde de 7 var, EBOB(14, 21) = 7. 14 ve 21 aralarında asal değildir.
Kullanışlı bir sonuç: aralarında asal iki sayının EKOK'u çarpımlarına eşittir. EKOK(8, 15) = 8 · 15 = 120. Daha fazla örnek için aralarında asal sayılar yazısını okuyabilirsin.
Çarpanlar ve Katlar Yeni Nesil Sorular (Beceri Temelli)
Çarpanlar ve katlar yeni nesil sorular, hesabı günlük bir durumun içine yerleştirir. Her soruda üç adımı uygula: tahmin et (EBOB mu EKOK mu?), hesapla, kontrol et (sonuç mantıklı aralıkta mı?). Aşağıdaki iki örnek, çarpanlar ve katlar soru çözümü sırasında bu üç adımın nasıl uygulandığını gösterir.
Örnek: Duvarı Kare Fayanslarla Kaplama
Kısa kenarı 120 cm, uzun kenarı 180 cm olan dikdörtgen bir duvar, kesilmeden ve boşluk kalmadan eş kare fayanslarla kaplanacak. En az sayıda fayans kullanmak için fayansın kenarı kaç cm olmalı, kaç fayans gerekir?
- Tahmin: Duvar küçük eş karelere bölünüyor ve fayans sayısının en az olması için kare en büyük olmalı. Bu bir EBOB sorusu.
- Hesap: 120 = 2³ · 3 · 5 ve 180 = 2² · 3² · 5. EBOB = 2² · 3 · 5 = 60. Fayansın kenarı 60 cm olur.
- Fayans sayısı: 180 : 60 = 3 fayans uzun kenara, 120 : 60 = 2 fayans kısa kenara sığar. 3 · 2 = 6 fayans gerekir.
- Kontrol: 60, küçük sayı olan 120'den büyük değil; sonuç mantıklı.
Kenarı EBOB(120, 180) = 60 cm olan kareler duvarı 3 sütun ve 2 satırda tam kaplar.
Örnek: Otobüslerin Birlikte Kalkışı
Bir duraktan A otobüsü 12 dakikada bir, B otobüsü 18 dakikada bir kalkıyor. İkisi saat 08.00'de birlikte kalktıysa bir sonraki birlikte kalkış ne zamandır?
- Tahmin: İki ayrı tekrar bir noktada buluşuyor. Bu bir EKOK sorusu.
- Hesap: 12 = 2² · 3 ve 18 = 2 · 3². EKOK = 2² · 3² = 36.
- Sonuç: 08.00'den 36 dakika sonra, saat 08.36'da birlikte kalkarlar.
- Kontrol: A 08.12, 08.24, 08.36'da; B 08.18, 08.36'da kalkıyor. İlk ortak saat 08.36.
A otobüsünün ve B otobüsünün kalkış saatleri ilk kez EKOK(12, 18) = 36 dakika sonra çakışır.
Sık Yapılan Hatalar
- 1'i asal saymak: 1 asal değildir, asal çarpanlara ayırmada yazılmaz.
- Uç çarpanları unutmak: Çarpanları sayarken 1'i ve sayının kendisini listeye eklemeyi unutma. 72'nin çarpan sayısı 10 değil 12'dir.
- Üsleri karıştırmak: EBOB'da ortak asal çarpanların küçük üssü, EKOK'ta bütün asal çarpanların büyük üssü alınır. Tersini yaparsan sonuç kontrol aralığının dışına düşer.
- "Aralarında asal sayılar asaldır" sanmak: 8 ve 15 asal değildir ama aralarında asaldır.
- "En az" görünce otomatik EBOB kullanmak: "En az kaç fayans" EBOB, "en az kaç dakika sonra" EKOK sorusudur.
Çarpanlar ve Katlar Mini Test (5 Soru + Cevap Anahtarı)
- 48'in kaç tane pozitif çarpanı vardır?
- 60 sayısını asal çarpanlarının üslü ifadeleriyle çarpımı şeklinde yaz.
- 18 ve 30 sayılarının EBOB ve EKOK'unu bul.
- 90 kalem ve 60 silgi, hiç artmadan ve her öğrenciye eşit sayıda verilecek şekilde en fazla kaç öğrenciye dağıtılabilir?
- Hangi sayı ikilisi aralarında asaldır? A) 12 ve 18 B) 9 ve 16 C) 14 ve 35 D) 15 ve 25
Cevap Anahtarı
- 10 tane. Çarpan çiftleri 1 · 48, 2 · 24, 3 · 16, 4 · 12, 6 · 8; bu 5 çiftte 10 çarpan var.
- 60 = 2² · 3 · 5. 60 : 2 = 30, 30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1 olduğundan bölenler 2, 2, 3, 5'tir.
- EBOB = 6, EKOK = 90. 18 = 2 · 3² ve 30 = 2 · 3 · 5; kontrol: 6 · 90 = 540 = 18 · 30.
- 30 öğrenci. Eşit ve artmadan dağıtma bir EBOB sorusudur; EBOB(90, 60) = 30, her öğrenci 3 kalem ve 2 silgi alır.
- B. 9 = 3² ve 16 = 2⁴ ortak asal çarpan taşımaz; diğer ikililerde 6, 7 ve 5 ortak bölendir.
Konuyu pekiştirmek için çarpanlar ve katlar yeni nesil sorularını çöz. Önce "EBOB mu EKOK mu?" tablosuyla her problemi sınıflandır, sonra hesapla ve sonucu kontrol aralığıyla denetle.
8. Sınıf Matematik Çarpanlar ve Katlar PDF: Konu Özeti ve Test
8. sınıf matematik çarpanlar ve katlar konusunu tek bakışta tekrar etmek için hazırlanan ders notlarında çarpan bulma ve asal çarpanlara ayırma adımları, EBOB ve EKOK kuralları, "EBOB mu, EKOK mu?" tablosu ve 5 çözümlü örnek yer alır. Son sayfadaki çarpanlar ve katlar test PDF bölümü 10 soruludur; yazdırıp çözebilir, cevap anahtarından kontrol edebilirsin. 8. sınıf çarpanlar ve katlar konu anlatımı PDF özetini indir; üyelik gerekmez.
