Matematikte bazı kavramlar, ilk bakışta karmaşık gibi görünse de aslında çok mantıklıdır. Aralarında asal sayılar da bunlardan biridir. Özellikle LGS ve TYT sınavlarında EBOB soruları çözülürken bu kavram sık sık karşımıza çıkar. Bu yazıda "aralarında asal ne demek" sorusunu net bir şekilde yanıtlayacak, örneklerle pekiştireceğiz.
Aralarında Asal Ne Demek?
İki sayının aralarında asal olması, bu iki sayının ortak böleninin sadece 1 olması anlamına gelir. Yani iki sayının en büyük ortak böleni (EBOB) 1'e eşittir.
📌 Tanım: İki doğal sayının aralarında asal olması için EBOB(a, b) = 1 olmalıdır. Bu, iki sayının 1 dışında ortak bir böleninin bulunmadığı anlamına gelir.
Dikkat edilmesi gereken en önemli nokta şudur: İki sayının aralarında asal olması için sayıların kendisinin asal sayı olması gerekmez.
Aralarında Asal Sayılar Nelerdir?
Aralarında asal olan sayılar, 1 dışında hiçbir ortak böleni olmayan sayı çiftleridir. Hem asal hem de bileşik sayılar bu özelliğe sahip olabilir.
Aralarında asal olan çiftler:
- 8 ve 9 → {1,2,4,8} ∩ {1,3,9} = {1} → Ortak bölen: sadece 1 ✅
- 4 ve 9 → {1,2,4} ∩ {1,3,9} = {1} → Ortak bölen: sadece 1 ✅
- 5 ve 7 → Her ikisi de asal, ortak bölen: sadece 1 ✅
Aralarında asal olmayan çiftler:
- 6 ve 9 → Ortak bölen: 1 ve 3 ❌
- 4 ve 6 → Ortak bölen: 1 ve 2 ❌
💡 Önemli Not: İki sayının ikisi de bileşik olabilir ve yine de aralarında asal olabilirler. 8 ve 9 bileşik sayılardır ancak aralarında asaldır.
Aralarında Asal Sayılar Nasıl Bulunur?
Yöntem 1: Bölenler Listesi
Her iki sayının bölenlerini listeleyin, ortak bölenlere bakın. Yalnızca 1 varsa sayılar aralarında asaldır.
Yöntem 2: EBOB Hesabı (Önerilen)
Sınavlarda en hızlı yöntem EBOB hesaplamaktır.
Örnek:
- 14 = 2 × 7 | 15 = 3 × 5 → Ortak asal çarpan yok → EBOB = 1 → Aralarında asaldır ✅
- 12 = 2² × 3 | 18 = 2 × 3² → EBOB = 6 ≠ 1 → Aralarında asal değildir ❌
1 ile Her Sayı Aralarında Asal mı?
✅ Cevap: Evet! 1 sayısının tek böleni kendisidir. Bu nedenle 1 ile herhangi bir doğal sayının EBOB'u daima 1'dir. EBOB(1, n) = 1 her zaman geçerlidir.
Yani 1, tüm doğal sayılarla aralarında asaldır.
6 ile Aralarında Asal Olan Sayılar
6 = 2 × 3 → 6 ile aralarında asal olmak için bir sayının ne 2'nin ne de 3'ün katı olmaması gerekir.
1–20 arasında: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19 aralarında asaldır.
15 ile Aralarında Asal Olan Sayılar
15 = 3 × 5 → 15 ile aralarında asal olmak için sayının ne 3'e ne 5'e bölünememesi gerekir.
1–20 arasında: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19 aralarında asaldır.
🎯 Genel Kural: a sayısı ile aralarında asal olanları bulmak için → a'yı asal çarpanlarına ayır, bu çarpanların hiçbirinin katı olmayan sayıları bul.
Sık Yapılan Hatalar
Her iki sayının da asal sayı olması gerektiğini sanmak
"Aralarında asal" ile "asal sayı" tamamen farklı kavramlardır. 8 ve 9 bileşik ama aralarında asal.
Ortak bölenleri kontrol etmeden karar vermek
Görünüşe göre tahmin yapmak yerine mutlaka EBOB hesabı yapın. 9 ve 25 bileşik görünse de EBOB(9, 25) = 1 olduğu için aralarında asaldır.
1'in özel durumunu yanlış yorumlamak
1 asal sayı değildir, ama tüm doğal sayılarla aralarında asaldır. Bu iki bilgi çelişmez.
.docx dosyası #5368D8 marka rengiyle, özet tablosu ve kutu tasarımlarıyla hazırlanmış şekilde yukarıda indirmeye hazır. Sonraki adım için infografik ister misin?
Aralarinda asal ne demek
Document · DOCX
Download
buraya tane tane yaz
11:04
Deciphered request to compose detailed written content
Deciphered request to compose detailed written content
Aralarında Asal Ne Demek? Tanım, Özellikler ve Örnekler
Matematikte bazı kavramlar ilk bakışta karmaşık gibi görünse de aslında çok mantıklıdır. Aralarında asal sayılar da bunlardan biridir. Özellikle LGS ve TYT sınavlarında EBOB soruları çözülürken bu kavram sık sık karşımıza çıkar. Bu yazıda "aralarında asal ne demek" sorusunu net bir şekilde yanıtlayacak, örnekler üzerinden pekiştireceğiz.
Aralarında Asal Ne Demek?
İki sayının aralarında asal olması, bu iki sayının ortak böleninin sadece 1 olması anlamına gelir.
Başka bir deyişle: iki sayının en büyük ortak böleni, yani EBOB'u 1'e eşitse bu iki sayı aralarında asaldır.
Örnek üzerinden düşünelim. 8 ile 9 sayılarını ele alalım.
8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8
9'un bölenleri: 1, 3, 9
Bu iki sayının ortak böleni yalnızca 1'dir. Yani EBOB(8, 9) = 1. Dolayısıyla 8 ile 9 aralarında asaldır.
Şimdi 6 ile 9'a bakalım.
6'nın bölenleri: 1, 2, 3, 6
9'un bölenleri: 1, 3, 9
Ortak bölenler: 1 ve 3. Yani EBOB(6, 9) = 3. Bu iki sayı aralarında asal değildir.
Dikkat edilmesi gereken en önemli nokta şudur: İki sayının aralarında asal olması için bu sayıların kendisinin asal sayı olması gerekmez. Yukarıdaki örnekte 8 ve 9'un ikisi de bileşik sayıdır. Yine de aralarında asaldır.
Aralarında Asal Sayılar Nelerdir?
Aralarında asal sayılar, 1 dışında hiçbir ortak böleni bulunmayan sayı çiftleridir.
Bu çiftler hem iki asal sayıdan, hem iki bileşik sayıdan, hem de biri asal biri bileşik olmak üzere karışık sayılardan oluşabilir. Önemli olan tek şey EBOB'un 1 olmasıdır.
Aralarında asal olan bazı çiftler:
4 ve 9 → EBOB = 1 ✅
8 ve 15 → EBOB = 1 ✅
7 ve 10 → EBOB = 1 ✅
14 ve 15 → EBOB = 1 ✅
25 ve 36 → EBOB = 1 ✅
Aralarında asal olmayan bazı çiftler:
4 ve 6 → EBOB = 2 ❌
9 ve 15 → EBOB = 3 ❌
12 ve 18 → EBOB = 6 ❌
Burada dikkat çeken bir şey var: 25 ve 36 tamamen bileşik sayılardır. 25 = 5², 36 = 2² × 3². Ortak asal çarpanları yoktur ve aralarında asaldır. Bu örnek, "aralarında asal" kavramının asal sayılarla karıştırılmaması gerektiğini net biçimde gösterir.
Aralarında Asal Sayılar Nasıl Bulunur?
İki sayının aralarında asal olup olmadığını anlamak için iki yöntem kullanılabilir.
Yöntem 1: Bölenler listesi
Her iki sayının bölenlerini ayrı ayrı yaz. Ortak bölenlere bak. Eğer tek ortak bölen 1 ise sayılar aralarında asaldır. Küçük sayılar için hızlıdır ama büyük sayılarda zaman alır.
Yöntem 2: Asal çarpanlara ayırma ve EBOB hesabı (önerilen)
Her iki sayıyı asal çarpanlarına ayır. Ortak asal çarpanları çarp, EBOB'u bul. EBOB = 1 çıkıyorsa sayılar aralarında asaldır. Sınavlarda bu yöntem çok daha hızlıdır.
Örnek:
14 ve 15 aralarında asal mı?
14 = 2 × 7
15 = 3 × 5
Ortak asal çarpan yok → EBOB(14, 15) = 1 → Aralarında asaldır ✅
Örnek:
12 ve 18 aralarında asal mı?
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3 → EBOB = 2 × 3 = 6 → Aralarında asal değildir ❌
1 ile Her Sayı Aralarında Asal mı?
Evet. 1 sayısının tek böleni yine kendisidir, yani sadece 1'dir. Bu yüzden 1 ile herhangi bir doğal sayının ortak böleni her zaman yalnızca 1 olur.
EBOB(1, n) = 1 ifadesi her n değeri için geçerlidir.
EBOB(1, 7) = 1 ✅
EBOB(1, 100) = 1 ✅
EBOB(1, 1.000.000) = 1 ✅
Yani 1 sayısı, tüm doğal sayılarla aralarında asaldır.
Burada öğrencilerin sık düştüğü bir tuzak var: "1 asal sayı değil, o zaman aralarında asal olamaz" diye düşünmek. Bu yanlıştır. 1'in asal sayı olup olmaması, aralarında asallık tanımıyla ilgili değildir. Tanım yalnızca EBOB'a bakar.
6 ile Aralarında Asal Olan Sayılar
6'nın asal çarpanlarını bulalım:
6 = 2 × 3
Demek ki 6 ile aralarında asal olmak için bir sayının ne 2'nin ne de 3'ün katı olmaması gerekir. Bu iki koşulun ikisi de aynı anda sağlanmalıdır.
1'den 20'ye kadar olan sayılar arasında 6 ile aralarında asalları bulalım:
Aralarında asal olanlar: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19
Aralarında asal olmayanlar: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20
Kontrol edelim:
EBOB(6, 5) = 1 ✅
EBOB(6, 7) = 1 ✅
EBOB(6, 4) = 2 ❌ (2'nin katı)
EBOB(6, 9) = 3 ❌ (3'ün katı)
EBOB(6, 10) = 2 ❌ (2'nin katı)
EBOB(6, 15) = 3 ❌ (3'ün katı)
Kısa yol: 6 ile aralarında asal olan sayılar, hem 2'ye hem de 3'e bölünemeyen sayılardır.
15 ile Aralarında Asal Olan Sayılar
15'in asal çarpanları:
15 = 3 × 5
Yani 15 ile aralarında asal olmak için bir sayının ne 3'ün ne de 5'in katı olmaması gerekir.
1'den 20'ye kadar olan sayılar arasında 15 ile aralarında asalları bulalım:
Aralarında asal olanlar: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19
Aralarında asal olmayanlar: 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20
Kontrol edelim:
EBOB(15, 8) = 1 ✅
EBOB(15, 14) = 1 ✅
EBOB(15, 6) = 3 ❌ (3'ün katı)
EBOB(15, 10) = 5 ❌ (5'in katı)
EBOB(15, 20) = 5 ❌ (5'in katı)
Genel kural şudur: Herhangi bir a sayısı ile aralarında asal olan sayıları bulmak için önce a'yı asal çarpanlarına ayır, ardından bu çarpanların hiçbirinin katı olmayan sayıları bul.
Sık Yapılan Hatalar
Her iki sayının da asal olması gerektiğini sanmak
"Aralarında asal" ifadesi, sayıların asal olduğu anlamına gelmez. İki bileşik sayı da aralarında asal olabilir. Örneğin 8 ve 9 bileşik sayılardır ancak EBOB(8, 9) = 1 olduğu için aralarında asaldır. "Aralarında asal" ve "asal sayı" kavramları birbirinden tamamen bağımsızdır.
Ortak bölenleri kontrol etmeden karar vermek
Büyük ve tanıdık görünmeyen sayılarla çalışırken sezgiyle karar vermeye çalışmak hata üretir. Mutlaka EBOB hesabı yapın. Örneğin 9 ve 25 aralarında asal olmayacakmış gibi görünebilir, ikisi de bileşik ve ikisi de tam karedir. Ama 9 = 3², 25 = 5², ortak asal çarpan yok, EBOB = 1, aralarında asaldır.
1'in özel durumunu yanlış yorumlamak
Bazı öğrenciler 1'in asal sayı olmadığı için başka sayılarla aralarında asal olamayacağını düşünür. Bu yanlıştır. 1 asal sayı değildir, bu doğrudur. Ancak aralarında asallık tanımı asal sayı olmayı gerektirmez. EBOB(1, n) = 1 olduğu için 1 her sayıyla aralarında asaldır.
Toplam yaklaşık 1.400 kelime, brief'teki tüm H2 ve H3 başlıkları sırayla karşılandı. İnfografik veya meta title/description ister misin?
