Kesişen, Paralel, Çakışık ve Dik Doğrular Konu Anlatımı

KONU ANLATIMI  •  TEMEL GEOMETRİ

Doğruların birbirine göre durumlarını tek tek, şekillerle ve mini testle öğren.

Aynı düzlemde çizilen iki doğru, birbirine göre farklı durumlarda olabilir. Bazen bir noktada kesişir, bazen hiç kesişmeden yan yana gider, bazen de tam olarak üst üste gelir. Bu yazıda kesişen doğrular, dik kesişen doğrular, paralel doğrular ve çakışık doğrular konularını sade bir dille anlatıyoruz. Her başlıkta kısa bir tanım, bir görsel ve günlük hayattan örnek bulacaksın.

Paralel Doğrular ve Kesen Hangi Sınıfta, Hangi Ünitede?

Paralel doğrular ve onları kesen bir doğrunun oluşturduğu açılar, 6. sınıf matematikte Geometrik Şekiller ünitesinde karşına çıkar. Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli'ne göre okulda 19. haftada, 8-12 Şubat arasında işlenir. Bu açıları tanımak için önce doğruların birbirine göre durumlarını bilmen gerekir. Bu yüzden aşağıda önce doğru çeşitlerini, sonra kesenin oluşturduğu açıları örneklerle işleyeceğiz.

• MAT.6.3.1 – Düzlemde iki paralel doğru ve bir kesen ile oluşan açıları sınıflandırabilme

Bir düzlemde iki doğrunun birbirine göre üç temel durumu vardır: kesişen, paralel ve çakışık doğrular. Dik kesişen doğrular ise ayrı bir durum değil, kesişen doğruların özel bir hâlidir. Yani iki doğru birbirini 90 derece ile kesiyorsa, hem kesişen hem de dik kesişen doğru olur. Aşağıda bu durumların hepsini tek tek inceleyeceğiz.

Kesişen doğrular, bir düzlemde bir noktada birbirini kesen doğrulardır. Bu iki doğrunun ortak olduğu tek bir nokta vardır ve bu noktaya kesişim noktası denir. İki çizgiyi kâğıda çizip birbirinin üstünden geçirdiğinde oluşan “X” benzeri şekil, kesişen doğruların en basit örneğidir. Kesişen doğruları anlamanın en kolay yolu ortak noktaya bakmaktır: iki doğru yalnızca bir noktada buluşuyorsa bunlar kesişen doğrulardır.

Dik kesişen doğru, birbirini tam 90 derece ile kesen iki doğrudur. 90 derece bir dik açı demektir; yani iki doğru kesiştiğinde köşede tam kare bir köşe oluşuyorsa bu doğrular diktir. Dik kesişen doğrular kareli defterde en kolay bulunur: bir doğruyu yatay, diğerini tam dikey çizersen bu iki doğru birbirine dik olur.

Günlük dilde çoğu zaman tek bir çizgiye “dik doğru” denir. Ama matematikte diklik, tek bir doğrunun değil, iki doğrunun birbirine göre durumudur. Doğru bir ifadeyle “birbirine dik doğrular” demek daha uygundur. Bir doğru, ancak başka bir doğruyla 90 derece açı yapıyorsa ona dik denir. Kısacası “dik doğru” dediğimizde aslında birbirini dik kesen iki doğruyu kastederiz.

Paralel doğrular, aynı düzlemde bulunan ve hiçbir noktada birbirini kesmeyen doğrulardır. Bu doğrular ne kadar uzatılırsa uzatılsın asla buluşmaz; aralarındaki uzaklık her yerde aynı kalır. Paralel çizgiler ifadesi de okul düzeyinde çoğu zaman paralel doğrular ile aynı anlamda kullanılır. Kesişen doğrulardan farkı nettir: kesişen doğruların bir ortak noktası vardır, paralel doğruların ise hiç ortak noktası yoktur. Defter çizgileri, tren rayları ve yaya geçidi şeritleri paralel çizgilere güzel örneklerdir.

Çakışık doğrular, birbirinin tam olarak üstüne gelen iki doğrudur. Üst üste bindikleri için sadece bir değil, sonsuz sayıda ortak noktaları vardır. Kâğıda bir doğru çizip aynı yerden ikinci bir doğru daha çizersen, ikisi tek bir çizgi gibi görünür — işte bu çakışık doğrudur. Çakışık doğrular sık sık paralel doğrularla karıştırılır ama ikisi tamamen farklıdır: paralel doğruların hiç ortak noktası yoktur, çakışık doğruların ise her noktası ortaktır. Bu yüzden ayrı bir durum olarak sayılır.

Bu üç durumu ayırt etmenin en kesin yolu ortak nokta sayısına bakmaktır. Kesişen doğruların bir ortak noktası, paralel doğruların hiç ortak noktası, çakışık doğruların ise sonsuz ortak noktası vardır. Görünüş olarak da farklıdırlar: kesişen doğrular birbirini keser, paralel doğrular yan yana gider, çakışık doğrular üst üste gelir. Bir soruda önce “bu iki doğrunun ortak noktası var mı, varsa kaç tane?” diye sor; kesişme varsa oluşan açıya bakarak dik olup olmadığını kontrol et.

Kesişen ve dik kesişen doğruların ikisi de bir noktada kesişir; aradaki tek fark açıdır. Dik kesişen doğrular birbirini tam 90 derece ile keser, kesişen doğrular ise herhangi bir açıyla kesişebilir. Yani tüm dik doğrular kesişir, ama tüm kesişen doğrular dik değildir. Sınav sorularında “bu iki doğru dik mi?” diye sorulduğunda, köşede tam bir dik açı (90°) oluşup oluşmadığına bakman yeterli.

Doğru çeşitlerini günlük hayattan örneklerle düşünmek konuyu çok kolaylaştırır. Paralel doğrulara defter satırları, tren rayları ve yaya geçidi çizgileri örnektir. Kesişen doğrulara açık bir makasın iki kolu, yol kavşakları ve saatin akrep ile yelkovanı örnektir. Dik kesişen doğrulara ise bir karenin köşesindeki kenarlar ve pencere çerçevesinin köşesi örnektir.

İki doğrunun birbirine göre durumunu bulmak için basit bir sıra izleyebilirsin. Önce iki doğrunun ortak noktası olup olmadığına bak.

İki Paralel Doğruyu Kesen Doğrunun Oluşturduğu Açılar Nelerdir?

Düzlemde birbirine paralel iki doğruyu, bu iki doğruyu da kesen üçüncü bir doğru ile kestiğinde toplam sekiz açı oluşur. Bu üçüncü doğruya kesen denir. Oluşan sekiz açı, konumlarına göre dört gruba ayrılır ve her grubun kendine özgü bir kuralı vardır.

Kural: İki paralel doğrunun arasında kalan ve kesenin farklı taraflarında duran açı çiftine iç ters açılar denir; bu açılar birbirine eşittir. Paralel doğruların dışında kalan ve kesenin farklı taraflarında duran açı çiftine dış ters açılar denir; bunlar da eşittir. Kesenin aynı tarafında, her iki doğruda aynı konumda duran açı çiftine yöndeş açılar denir ve bunlar da eşittir. Paralel doğruların arasında ve kesenin aynı tarafında kalan açı çiftine ise iç açılar denir; toplamları 180 derecedir.

Okul yolundaki iki paralel şeridi çapraz kesen bir yaya geçidi düşün. Geçidin her iki şeritle yaptığı açılar aynı görünür, çünkü şeritler paraleldir.

Peki bu açılar neden eşit çıkar? İki doğru aynı doğrultuda olduğu için kesen, ikisiyle de aynı açıyı yapar. Alttaki kesişme noktasını, üsttekinin kesen boyunca kaydırılmış hâli gibi düşünebilirsin.

6. sınıf düzeyi örnek 1: Birbirine paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu açılardan biri 70 derecedir. Bu açının yöndeşi kaç derecedir?

Çözüm: Yöndeş açılar birbirine eşittir. Verilen açı 70 derece olduğuna göre yöndeşi de 70 derecedir.

6. sınıf düzeyi örnek 2: Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu iç açı çiftinden biri 110 derece ise, aynı tarafta kalan diğer iç açı kaç derecedir?

Çözüm: İç açıların toplamı 180 derecedir. 180 − 110 = 70 olduğuna göre aranan açı 70 derecedir.

Dikkat: Bu kurallar yalnız doğrular gerçekten paralel olduğunda geçerlidir. Doğrular paralel değilse, kesenin oluşturduğu açılar arasında bu eşitlikler oluşmaz.

Bu açı ilişkilerini bol soru çözerek pekiştirmek istersen 6. sınıf matematik soru çözme sayfasındaki sorulara bakabilirsin.

Paralel doğrular hiç kesişir mi?  Hayır, paralel doğrular hiçbir noktada kesişmez.

Çakışık doğrular paralel midir?  Hayır, çakışık doğrular ayrı bir durumdur; üst üste gelirler.

Her dik doğru kesişir mi?  Evet, birbirine dik doğrular her zaman kesişir.

Her kesişen doğru dik midir?  Hayır, kesişen doğrular her açıyla kesişebilir.

Paralel çizgiler ile paralel doğrular aynı şey midir?  Okul düzeyinde çoğu zaman aynı anlamda kullanılır.

• Kesişen doğruların bir ortak noktası vardır.
• Dik kesişen doğrular, 90 derece ile kesişen özel bir kesişen doğru türüdür.
• Paralel doğruların hiç ortak noktası yoktur ve aralarındaki uzaklık sabittir.
• Çakışık doğruların sonsuz ortak noktası vardır; tam üst üste gelirler.
• Bir doğru durumunu bulmak için önce ortak nokta sayısına, sonra açıya bakılır.
• İki paralel doğruyu kesen üçüncü doğru, yöndeş, iç ters, dış ters ve iç açılar oluşturur.
• Yöndeş, iç ters ve dış ters açı çiftleri eşittir; iç açı çiftinin toplamı 180 derecedir.