İşçi Problemleri Formülü Nedir? İşçi ve Havuz Problemleri Konu Anlatımı Formüller ve Örnekler

İşçi problemleri formülü İş = Hız × Zaman eşitliğidir: bir işçi işi x günde bitiriyorsa bir günde işin 1/x'ini yapar. Birlikte çalışan işçilerin günlük işleri toplanır ve 1 bu toplama bölünerek ortak süre bulunur. Havuz problemleri formülü de aynıdır; tek fark musluğun işçinin, havuzun ise işin yerine geçmesidir.

İşçi problemleri konu anlatımı arayan çoğu öğrenci aynı yerde takılır: günleri toplamak ister ve havuz sorusunda yöntemin değiştiğini sanır. Yazıyı bitirdiğinde TYT matematikteki işçi ve havuz sorularını tek mantıkla kurabileceksin. Tekrar için işçi problemleri PDF ders notu da burada: PDF DERS NOTU İNDİR

İşçi Problemleri Nedir?

İşçi problemleri; iş, hız ve zaman arasındaki ilişkiyi konu alan klasik matematik sorularıdır. Bu problem türünde genellikle bir ya da birden fazla işçinin belirli bir işi ne kadar sürede tamamladığı sorulur. Sorular oran-orantı mantığıyla kurulur; yani formülü ezberlemek yerine temel ilişkiyi kavramak çok daha önemlidir.

Bu konuyu kavramak için önce işçi problemleri formülünü doğru anlamak gerekir. Formül ezberlenir gibi görünse de aslında son derece sezgisel bir mantığa dayanır: bir iş sabit büyüklükte kabul edilir ve bu işi yapacak olanın hızı, zaman ile ters orantılıdır.

İşçi Problemleri Formülü Nedir?

İşçi problemlerinde kullanılan temel formül şudur:
İş = Hız × Zaman

Burada hız, bir işçinin birim zamanda (genellikle bir günde) yaptığı iş miktarını ifade eder. Örneğin bir işçi bir işi 5 günde bitiriyorsa, günde yaptığı iş toplam işin 1/5'idir. İşin tamamı ise her zaman 1 (bir bütün) olarak alınır.

İşçi problemleri formülü ezber değil, bu temel mantık üzerine kurulur. Hızı doğru tanımladığınızda tüm sorular kendiliğinden çözülür.

İşçi Problemleri Nasıl Çözülür?

Tekil sorulan işçi problemi formülü de aynı eşitliktir; her soruda şu dört adımı izlersin:

1. İşin tamamını 1 bütün kabul et.
2. Her işçinin birim zamandaki hızını yaz: işi x günde bitiren, günde 1/x yapar.
3. Birlikte çalışanların hızlarını topla; işi bozan varsa onun hızını çıkar.
4. 1'i bulduğun toplam hıza böl; sonuç işin bitme süresidir.

Mantık: Süreler değil hızlar toplanır, çünkü aynı gün içinde üst üste eklenen şey yapılan iş miktarıdır.

Günlük hayattan: Odanı tek başına 30 dakikada, kardeşin 60 dakikada topluyorsa birlikte 90 dakika sürmez. Dakikada 1/30 + 1/60 = 1/20 iş yaparsınız ve oda 20 dakikada toplanır.

İşçi Problemlerinde Temel Mantık Nasıl Kurulur?

İşçi problemlerini çözerken her zaman işin tamamını 1 olarak kabul edin. Bu basit ama güçlü bir yaklaşımdır.

Bir işçi işi x günde bitiriyorsa

Günlük iş = 1 / x
Örneğin Ali bir evi 8 günde boyuyorsa, günlük iş miktarı = 1/8'dir. Bunu "her gün işin sekizde birini yapıyor" diye okuyun.

İki işçi birlikte çalışıyorsa

Günlük iş miktarları toplanır. Biri x günde, diğeri y günde bitiriyorsa:
Birlikte günlük iş = 1/x + 1/y

Birlikte kaç günde bitirirler sorusu için: Toplam süre = 1 ÷ (1/x + 1/y) şeklinde hesaplanır.

Biri yapıp biri bozuyorsa

Bir kişi iş yaparken diğeri yaptığı işi bozuyorsa hızlar toplanmaz, çıkarılır.
Net hız = 1/x − 1/y (x yapan, y bozan)

İşçi Sayısı ile Süre Arasındaki İlişki

İşçi sayısı artarsa işin bitme süresi nasıl değişir? İşçi sayısı artarsa iş daha hızlı tamamlanır; yani süre kısalır. Bu ters orantı ilişkisidir. Aynı hızda çalışan işçiler söz konusu olduğunda şu eşitlik hep geçerlidir:
İşçi sayısı × Süre = Sabit

Örneğin: 4 işçi bir işi 6 günde bitiriyorsa, 8 işçi aynı işi 3 günde bitirir (4×6 = 8×3 = 24).

İpucu: İşçi sayısı 2 katına çıkarsa süre yarıya iner. İşçi sayısı 3'e katlanırsa süre üçte birine düşer.

Birlikte Çalışma Soruları Nasıl Çözülür?

Birlikte çalışan işçilerin yaptığı iş nasıl hesaplanır? Bu soru tipi sınavlarda en sık karşılaşılan işçi problemi biçimidir. Öğrencilerin en sık yaptığı hata şudur: "Günleri toplarım, ortalamasını alırım." Bu yanlıştır; işçi problemleri birlikte çalışma sorularında toplanan şey gün değil, hızdır.

Neden günler değil hızlar toplanır?

Çünkü iş bir bütündür ve her işçi o bütünden kendi payına düşen oranı her gün yapar. İki işçi birlikte çalışırken günde yapılan toplam iş, her birinin günlük iş oranlarının toplamına eşittir.

Yani: Birlikte yapılan günlük iş = 1/x + 1/y ← Bu oran toplanır, günler değil.

Birleşik İşçi Problemleri

Birleşik işçi problemi, birlikte çalışan iki veya daha fazla işçinin ortak tamamlama süresini bulma problemidir. İşçi sayısı kaç olursa olsun yol değişmez: bütün hızları toplar, 1'i bu toplama bölersin.

Temel birlikte çalışma formülü

Birlikte bitirme süresi = 1 ÷ (1/x + 1/y) = xy ÷ (x + y)
Örnek: Ahmet bir işi 6 günde, Mehmet 12 günde bitiriyor. Birlikte kaç günde bitirirler?

Çözüm: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 → Birlikte 1 günde işin 1/4'ünü yapıyorlar. Toplam süre = 4 gün.

İşçi Problemleri ile Havuz Problemleri Aynı Mantıkta mı Çözülür?

İşçi ve havuz problemleri aynı yöntemle mi çözülür? Evet, tamamen aynı mantık geçerlidir. Havuz problemleri de birim zamanda doldurulan ya da boşaltılan su miktarı üzerine kurulur. Bu nedenle işçi ve havuz problemleri çözüm yöntemi birebir örtüşür.

Havuz Problemleri Nedir?

Havuz problemi, bir havuzun bir ya da birden fazla musluk tarafından doldurulması ya da boşaltılması üzerine kurulan problem tipidir. İşçi problemlerindeki "işçi" burada "musluk", "iş" ise "havuz hacmi" olarak düşünülür. İşçi havuz problemleri aynı temel formülü paylaştığı için ikisini birlikte soran sorularda tek bir mantık yeterli olur.

Doldurma problemleri

Bir musluk havuzu x saatte, diğeri y saatte dolduruyorsa, aynı anda çalışırlarsa hızlar toplanır:
Birlikte dolum hızı = 1/x + 1/y

Doldurma ve boşaltma birlikteyse

Bir musluk doldururken bir tahliye boşaltıyorsa hızlar çıkarılır:
Net hız = 1/x − 1/y (x doldurur, y boşaltır)

İşçi problemi ile havuz problemi arasındaki ortak nokta

Her ikisi de birim zamanda yapılan iş (veya doldurulan hacim) mantığına dayanır. Biri yapıp biri bozuyorsa çıkarma, ikisi birlikte yapıyorsa toplama yapılır. Bu mantık hem işçi hem havuz problemleri için ortaktır.

İpucu: Havuz problemlerini gördüğünüzde hemen musluğu "işçi", havuzu "iş" olarak çevirin. Aynı formülleri uygulayın.

Havuz Problemleri Formülü

Havuz problemleri formülü, işçi problemlerindeki günlük iş yerine saatlik dolum/boşaltma oranını kullanır. Bir musluk x saatte dolduruyorsa saatlik hızı 1/x'tir; birden fazla musluk aynı anda açıksa hızlar toplanır, biri doldururken diğeri boşaltıyorsa çıkarılır. Son adımda 1'i net hıza bölersin; sonuç havuzun kaç saatte dolacağını verir.

İşçi Problemi mi, Havuz Problemi mi? Hızlı Karşılaştırma Tablosu

Aşağıdaki tablo iki problem tipinin değişkenlerini yan yana gösterir. İşçi havuz problemleri formülü sorularında hangi büyüklüğün neye karşılık geldiğini buradan okuyabilirsin.

En Çok Yapılan 3 Hata

Dikkat: İşçi havuz problemi çözerken en sık üç hata tekrar eder; üçü de hızı yanlış kurmaktan doğar.

1. Ters orantıyı doğru orantı gibi kurmak: İşçi sayısı artınca sürenin de artacağı sanılır, oysa işçi sayısı arttıkça süre azalır. İşçi sayısı × süre değeri sabittir, bu yüzden bir değişken büyürken diğeri küçülür.

2. Birimleri karıştırmak: Bir soruda süre saat, başka bir değer gün cinsinden verilebilir. Bütün değerleri aynı birime çevirmeden işlem yapmak yanlış sonuca götürür.

3. İşçi ayrılınca/katılınca kalan işi yanlış hesaplamak: Yeni işçi sayısını doğrudan eski süreyle çarpıp bölmek hatalıdır. Önce o ana kadar tamamlanan kısım, sonra kalan kısmın yeni işçi sayısıyla süresi ayrı ayrı bulunmalıdır.

En Sık Kullanılan İşçi Problemleri Formülleri

İşçi problemleri formülleri arasında en temel olanlar şunlardır:

Sık Karıştırılan Noktalar

Gün mü toplanır, hız mı toplanır?

Kesinlikle hız toplanır. Gün toplamak yanlış bir işlemdir. "Ali 4 günde, Veli 6 günde bitiriyor; birlikte 10 günde bitirir" demek matematiksel olarak hatalıdır. Doğru yaklaşım: 1/4 + 1/6 = 5/12 → Birlikte süre = 12/5 = 2,4 gün.

İşçi sayısı artarsa süre neden azalır?

Çünkü iş sabit kalır, toplam hız artar. Daha fazla işçi aynı işi daha kısa sürede tamamlar. İşçi sayısı ve süre ters orantılıdır; biri artarken diğeri azalır.

Havuz problemlerinde neden çıkarma yapılır?

Bir musluk havuzu doldururken diğeri boşaltıyorsa, birinin katkısı diğerinin katkısını azaltır. Dolayısıyla dolum hızından boşalım hızı çıkarılır ve net dolum hızı elde edilir.

Örneklerle İşçi Problemleri Çözümü

Örnek 1 — Tek işçi

Bir usta bir işi 10 günde bitiriyor. 3 günde işin ne kadarını yapar?

Çözüm: Günlük iş = 1/10. 3 günde = 3 × 1/10 = 3/10. Yani işin 3/10'unu tamamlar.

Örnek 2 — Birlikte çalışma

Ayşe bir işi 8 günde, Fatma aynı işi 12 günde bitiriyor. Birlikte kaç günde tamamlarlar?

Çözüm: 1/8 + 1/12 = 3/24 + 2/24 = 5/24. Birlikte günlük iş: 5/24 → Süre = 24/5 = 4,8 gün.

Örnek 3 — Bozucu etkili

Bir işçi bir duvarı 6 günde örerken başkası 12 günde yıkıyor. İkisi aynı anda çalışırsa duvar ne zaman tamamlanır?

Çözüm: Net hız = 1/6 − 1/12 = 2/12 − 1/12 = 1/12 → Süre = 12 gün.

Örnek 4 — Havuz dolumu

Bir musluk havuzu 4 saatte, diğeri 6 saatte dolduruyor. Birlikte kaç saatte dolar?

Çözüm: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 → Süre = 12/5 = 2,4 saat.

Örnek 5 — Doldurma + Boşaltma

Bir musluk havuzu 3 saatte dolduruyor, bir drenaj ise 9 saatte boşaltıyor. Net dolum süresi nedir?

Çözüm: 1/3 − 1/9 = 3/9 − 1/9 = 2/9 → Süre = 9/2 = 4,5 saat.

Örnek 6 — İşçi Ayrılırsa

Bir işi 4 işçi birlikte 15 günde bitiriyor; işçiler aynı hızda çalışıyor. İlk 5 gün bu 4 işçi birlikte çalışıyor, sonra 2 işçi ayrılıyor ve kalan iş 2 işçiyle tamamlanıyor. İş toplam kaç günde biter?

Çözüm: Toplam iş = 4 işçi × 15 gün = 60 işçi-gün olur, yani bir işçinin günlük işi 1/60'tır. İlk 5 günde 4 işçi × 5 gün = 20 işçi-gün yapılır; bu, işin 20/60 = 1/3'üdür. Kalan iş 2/3'tür, yani 60 − 20 = 40 işçi-gün. Kalan 2 işçiyle süre = 40 ÷ 2 = 20 gün. Toplam süre = 5 + 20 = 25 gün.

Pratik Çözüm İpuçları

İşin tamamını her zaman 1 (bir bütün) olarak alın — bu yaklaşım çoğu soruda işlemi kolaylaştırır. Günleri değil, iş yapma oranlarını toplayın veya çıkarın. "Birlikte", "ayrı ayrı", "bozuyor", "boşaltıyor" gibi anahtar kelimeleri dikkatle okuyun — işlemin toplama mı çıkarma mı olduğunu bunlar belirler. Kesirlerde ortak payda bulmak için EBOB/EKOK kullanmak işlemi hızlandırır. Havuz problemlerini gördüğünüzde zihinsel olarak "musluk = işçi, hacim = iş" çevrimini yapın.

Bu konuyu pekiştirmek için hız problemleri formülleri konusuna da göz atabilirsin; iki konu da oran-orantı mantığıyla kurulur.

İşçi Problemleri Hızlı Özet

• İşin tamamını her zaman 1 bütün kabul et.
• Bir işçi işi x günde bitiriyorsa günlük hızı 1/x'tir.
• Birlikte çalışmada hızlar toplanır: 1/x + 1/y.
• Biri yapıp biri bozuyorsa hızlar çıkarılır: 1/x − 1/y.
• İşçi sayısı × süre, aynı hızdaki işçiler için sabittir.
• Havuz problemleri aynı formülleri kullanır; musluk işçi, hacim iş yerine geçer.
• İşçi ayrılınca/katılınca önce tamamlanan kısmı, sonra kalan kısmı ayrı hesapla.

Mini Test (5 Soru + Kısa Çözümleri)

Soru 1: Bir işçi bir işi 15 günde bitiriyor. Bir günde işin kaçta kaçını yapar? → Cevap: Günlük iş = 1/15

Soru 2: A bir işi 10 günde, B aynı işi 15 günde bitiriyor. Birlikte kaç günde bitirirler? → Cevap: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 → Birlikte 6 günde tamamlar.

Soru 3: Bir işçi duvarı 8 günde örerken başkası 24 günde yıkıyor. Kaç günde tamamlanır? → Cevap: 1/8 − 1/24 = 3/24 − 1/24 = 2/24 = 1/12 → 12 gün.

Soru 4: Bir musluk havuzu 5 saatte dolduruyor, drenaj 10 saatte boşaltıyor. Net süre nedir? → Cevap: 1/5 − 1/10 = 2/10 − 1/10 = 1/10 → 10 saat.

Soru 5: 6 işçi bir işi 8 günde bitiriyor. Aynı işi 4 günde bitirmek için kaç işçi gerekir? → Cevap: 6 × 8 = x × 4 → x = 12 işçi. (Ters orantı.)

PDF DERS NOTU İNDİR

Güncelleme: Ekim 2026