Yay–kütle sisteminden basit sarca kadar tüm BHH formülleri, sınav odaklı çözümlü sorular ve sık yapılan hatalar bu belgede yer almaktadır.
Bu Konu Hangi Sınıfta İşleniyor?
Basit harmonik hareket, 12. sınıf fizik dersinde "Basit Harmonik Hareket" ünitesinde işlenir. Okullarda bu konuya genellikle 9. haftada, 9-13 Kasım tarihleri arasında başlanır. Bu ünitede hareketi önce düzgün çembersel hareketle açıklar, sonra kuvvet, hız ve ivme hesapları yaparsın. Yay sarkacı ile basit sarkaçta periyodun nelere bağlı olduğunu da burada öğrenirsin. Su dalgalarında kırınım ise hemen ardından gelen "Dalga Mekaniği" ünitesinin ilk kazanımıdır; bağlantısını bu yazıda kısaca görürsün.
Bu yazıda karşılanan kazanımlar: 12.2.1.1, 12.2.1.2, 12.2.1.3, 12.2.1.4, 12.2.1.5 ve 12.3.1.1.
Basit Harmonik Hareket Nedir?
Basit harmonik hareket (BHH), bir cismin denge konumu etrafında, doğrusal bir geri çağırıcı kuvvetin etkisiyle yaptığı düzenli, periyodik harekettir. Bu harekette cismi her zaman denge noktasına doğru çeken bir kuvvet vardır ve bu kuvvetin büyüklüğü, cismin denge noktasından uzaklığıyla doğru orantılıdır.
Basit harmonik hareketin matematiksel şartı: F = −kx — Burada kuvvet, yer değişimiyle orantılı ve yönü her zaman dengeye doğrudur.
🔍 Günlük Hayattan Örnekler Yaya asılı kütle, sarkaç saatin sarkacı, titreşen gitar teli, araba amortisörleri ve hatta moleküllerin titreşimi — hepsi basit harmonik harekete örnek gösterilebilir. TYT ve AYT'de en sık sorulan sistemler ise yay–kütle sistemi ve basit sarkaçtır. |
Basit Harmonik Hareketin Temel Kavramları
BHH problemlerini çözebilmek için dört temel kavramı net biçimde bilmek gerekir. Bu kavramları karıştırmak, formülleri yanlış uygulamaya yol açar.
⚖️ Denge Konumu Cismin üzerindeki net kuvvetin sıfır olduğu nokta. BHH'de tüm hareketi bu noktaya göre tanımlarız. x = 0 | 📏 Genlik (A) Cismin denge konumundan uzaklaşabileceği maksimum mesafe. Hız bu noktada sıfır, ivme maksimum. x = ±A |
⏱️ Periyot (T) Cismin bir tam titreşim yapması için geçen süre. Birimi saniyedir (s). Genlikten bağımsızdır. T (saniye) | 〰️ Frekans (f) Birim zamanda yapılan titreşim sayısı. Birimi Hertz (Hz). Periyotla ters orantılıdır. f = 1/T |
Açısal frekans (ω): ω = 2πf = 2π/T — Saniyede kaç radyan döndüğünü gösteren büyüklük. BHH denklemlerinde en çok karşılaşılan ifadedir.
Basit Harmonik Hareket Düzgün Çembersel Hareketle Nasıl Açıklanır?
Yarıçapı A olan bir çember üzerinde sabit açısal hızla (ω) dönen bir noktanın, çemberin bir çapı üzerindeki izdüşümü tam olarak basit harmonik hareket yapar. BHH'nin konum, hız ve ivme denklemleri bu yüzden düzgün çembersel hareketten türetilir; ω burada hem çembersel hareketin açısal hızı hem de BHH'nin açısal frekansıdır.
Mantık: Çember üzerindeki nokta sabit hızla dönerken, bir eksene düşen izdüşümü hızlanıp yavaşlar; çünkü izdüşüm, hareketin yalnızca o eksendeki bileşenini gösterir.
Örnek (12. sınıf düzeyi): Yarıçapı A = 0,4 m olan bir referans çemberinde bir nokta ω = 5 rad/s sabit açısal hızla dönüyor. ωt = 30° (π/6 rad) anında bu noktanın bir çap üzerindeki izdüşümünün konumunu ve hızını bulalım.
Konum: x = A·sin(ωt) = 0,4 × sin(30°) = 0,4 × 0,5 = 0,2 m.
Hız: v = ω·√(A² − x²) = 5 × √(0,4² − 0,2²) = 5 × √(0,16 − 0,04) = 5 × √0,12 ≈ 5 × 0,346 ≈ 1,73 m/s.
Sonuç: İzdüşüm noktası x = 0,2 m konumundayken yaklaşık 1,73 m/s hızla hareket eder; bu, çembersel hareketteki teğetsel hızın eksen üzerine düşen bileşenidir.
Basit Harmonik Hareket Formülleri
BHH'yi tanımlayan üç temel denklem vardır: konum, hız ve ivme. Bu üçünü birlikte anlamak, sınav sorularının büyük çoğunluğunu çözmenizi sağlar.
Basit Harmonik Hareket Kuvvet Formülü
BHH'de cisme etki eden geri çağırıcı kuvvet, denge noktasından uzaklıkla doğru orantılıdır ve her zaman dengeye doğru yönelir: F = −k·x. Buradaki eksi işareti, kuvvetin yönünün yer değişimine ters olduğunu gösterir.
Günlük hayattan: Bir yayı ne kadar çok gerersen, yayın seni geri çekme kuvveti de o kadar büyür; bu orantı tam olarak F = −k·x denklemiyle ifade edilir.
Örnek (12. sınıf düzeyi): Yay sabiti k = 200 N/m olan bir yayın ucundaki m = 2 kg kütle, denge konumundan x = 0,2 m uzaklaştırılıyor. Cisme etki eden kuvveti ve ivmeyi bulalım.
Kuvvet: F = −k·x = −200 × 0,2 = −40 N (büyüklüğü 40 N, yönü dengeye doğru).
İvme: a = F/m = −40/2 = −20 m/s².
Kontrol: a = −ω²·x denkleminde ω² = k/m = 200/2 = 100 olduğundan a = −100 × 0,2 = −20 m/s² bulunur; iki yoldan da aynı sonuca ulaşılır. Bu ilişkiyi dengelenmiş ve dengelenmemiş kuvvetler konusuyla birlikte incelemek, net kuvvet kavramını netleştirir.
Konum (Uzam) Denklemi
Cismin herhangi bir andaki konumunu veren denklem sinüs veya kosinüs fonksiyonu biçimindedir. Cisim denge konumundan hareket ediyorsa sinüs, genlik noktasından hareket ediyorsa kosinüs kullanılır.
KONUM DENKLEMİ |
x = A · sin(ωt) |
A = genlik (m) · ω = açısal frekans (rad/s) · t = zaman (s) |
A = genlik (m) | ω = açısal frekans (rad/s) | t = zaman (s) | x = anlık konum (m) |
Basit Harmonik Hareket Hız Formülü
Hız denklemi, cismin denge noktasında maksimum, genlik noktasında ise sıfır olduğunu gösterir. Denge noktasında potansiyel enerji sıfır, kinetik enerji maksimum; genlik noktasında tam tersi geçerlidir.
BASIT HARMONIK HAREKET HIZ FORMÜLÜ |
v = ω · √(A² − x²) |
x = 0 iken v_max = ω·A (maksimum hız). x = ±A iken v = 0 (cisme durur). |
v_max = ω·A | v = 0 → x = ±A | v = max → x = 0 |
Basit Harmonik Hareket İvme Formülü
İvme, her zaman denge noktasına doğrudur. Formüldeki negatif işaret bu yüzden vardır; cisim sağa giderse ivme sola, sola giderse sağa yönelir. Bu, BHH'nin geri çağırıcı kuvvet tanımının doğrudan sonucudur.
BASIT HARMONIK HAREKET İVME FORMÜLÜ |
a = −ω² · x |
x = 0 iken a = 0. x = ±A iken a_max = ω²·A (maksimum ivme). |
a_max = ω²·A | a = 0 → x = 0 | Yön: daima dengeye doğru |
Basit Harmonik Hareket Periyot Formülleri
Periyot, sistemin yapısına bağlıdır. TYT ve AYT'de iki sistem öne çıkar: yay–kütle sistemi ve basit sarkaç. Her ikisinin periyotu farklı değişkenlere bağlıdır.
Yay–Kütle Sistemi: Periyot Formülü
Kütle arttıkça periyot artar; yay sabiti arttıkça periyot azalır. Kütle 4 katına çıkarsa periyot 2 katına çıkar. Yay sabiti 4 katına çıkarsa periyot yarıya düşer.
YAY–KÜTLE PERIYOT FORMÜLÜ |
T = 2π · √(m/k) |
m = kütle (kg) · k = yay sabiti (N/m) · ω = √(k/m) |
m = kütle (kg) | k = yay sabiti (N/m) | ω = √(k/m) |
Basit Sarkaç Periyot Formülü
En kritik nokta: kütlenin periyodu etkilememesidir. 10 gram ile 100 gram sarkaç, aynı uzunlukta asılıysa birebir aynı sürede titreşir. Bu TYT'de çok sık yanıltıcı soru olarak karşınıza çıkar.
BASIT SARKAÇ PERIYOT FORMÜLÜ |
T = 2π · √(L/g) |
Kütle periyodu ETKİLEMEZ! Uzunluk 4x → periyot 2x. Yer çekimi azalırsa periyot artar. |
L = sarkaç boyu (m) | g = yer çekimi (m/s²) | Kütle → etkisiz |
📊 Periyot–Frekans İlişkisi Her iki sistemde de: f = 1/T ve T = 1/f. Örneğin T = 0,5 s ise f = 2 Hz (saniyede 2 titreşim). |
Su Dalgalarında Kırınım: Dalga Boyu ve Yarık Genişliği İlişkisi
Kırınım, bir dalganın yarıktan veya engelden geçerken yayılma doğrultusunun değişmesi, yani dalganın engelin arkasına doğru bükülerek yayılmasıdır. Su dalgalarında kırınımın ne kadar belirgin olacağı, dalga boyu (λ) ile yarık genişliği (a) arasındaki orana bağlıdır.
Kural: Dalga boyu yarık genişliğine yakın veya ondan büyükse kırınım daha belirgin görülür; yarık genişletildikçe ya da dalga boyu kısaldıkça kırınım azalır.
Örnek (12. sınıf düzeyi): Dalga boyu λ = 2 cm olan bir su dalgası önce a₁ = 2 cm genişliğindeki bir yarıktan, sonra a₂ = 10 cm genişliğindeki bir yarıktan geçiyor. Hangi durumda kırınım daha belirgin olur?
Birinci durumda λ/a₁ = 2/2 = 1; dalga boyu yarık genişliğine eşit olduğundan kırınım çok belirgindir. İkinci durumda λ/a₂ = 2/10 = 0,2; yarık dalga boyuna göre çok geniş olduğundan kırınım zayıf kalır, dalga büyük ölçüde doğrusal yayılır.
Dikkat: Kırınımın belirginliğini dalga boyu ile yarık genişliği arasındaki oran belirler. Derinlik sabitken kaynağın frekansını artırırsan dalga boyu kısalır, bu yüzden kırınım azalır. Bu ilişki, su dalgalarında yansıma ve stroboskop konusuyla birlikte incelendiğinde daha iyi anlaşılır.
Basit Harmonik Hareket Formülü — Özet Tablo
Tüm BHH formülleri aşağıdaki tabloda bir arada. Formülleri ezberlemek yerine her birinin fiziksel anlamını kavramaya çalışın.
Büyüklük | Formül | Özel Durum |
Konum | x = A·sin(ωt) | x ∈ [−A, +A] |
Hız | v = ω·√(A²−x²) | v_max = ωA (x=0) |
İvme | a = −ω²·x | a_max = ω²A (x=±A) |
Açısal frekans | ω = 2π/T | ω = 2πf |
Periyot (yay) | T = 2π·√(m/k) | ω = √(k/m) |
Periyot (sarkaç) | T = 2π·√(L/g) | Kütleden bağımsız |
Frekans | f = 1/T | Birimi Hz |
Çözümlü Örnek Sorular (TYT–AYT)
Aşağıdaki çözümlü sorular, TYT ve AYT'de en sık karşılaşılan BHH soru tiplerine göre hazırlanmıştır.
Soru 1 TYT Yay sabiti k = 400 N/m olan bir yaya m = 1 kg kütle asılıyor. Periyot kaç saniyedir? |
→ Formülü yazıyoruz: T = 2π·√(m/k) |
→ Değerleri koyuyoruz: T = 2π·√(1/400) = 2π·(1/20) = π/10 |
→ π ≈ 3,14 alınırsa: T ≈ 0,314 s |
✓ T = π/10 ≈ 0,314 s |
Soru 2 TYT L = 1 m uzunluğundaki basit sarcın periyodu nedir? (g = 10 m/s²) Bu saraca 8 kg kütle asılsaydı periyot değişir miydi? |
→ Sarkaç formülü: T = 2π·√(L/g) = 2π·√(1/10) = 2π/√10 ≈ 2 s |
→ Kütle değişimi: Basit sarcın periyotu kütleye bağlı değildir. 8 kg asılsa da T ≈ 2 s olur. |
✓ T ≈ 2 s · Kütle değişince T değişmez |
Soru 3 AYT Genliği A = 5 cm, açısal frekansı ω = 10 rad/s olan BHH yapan cismin maksimum hızı ve x = 3 cm konumundaki hızı nedir? |
→ Maksimum hız: v_max = ω·A = 10 × 0,05 = 0,5 m/s |
→ x = 3 cm için: v = ω·√(A²−x²) = 10·√(0,05²−0,03²) |
→ = 10·√(0,0025−0,0009) = 10·√(0,0016) = 10×0,04 = 0,4 m/s |
✓ v_max = 0,5 m/s · v(3cm) = 0,4 m/s |
Soru 4 AYT x = 2 cm'de ivme a = −8 m/s² ise ω değeri ve A = 4 cm'deki maksimum ivme nedir? |
→ İvme formülü: a = −ω²·x → −8 = −ω²·(0,02) → ω² = 400 → ω = 20 rad/s |
→ a_max: a_max = ω²·A = 400 × 0,04 = 16 m/s² |
✓ ω = 20 rad/s · a_max = 16 m/s² |
Soru 5 AYT x–t grafiğinde A = 8 cm, T = 4 s okunmuştur. Açısal frekans, maksimum hız ve maksimum ivme nedir? |
→ Açısal frekans: ω = 2π/T = 2π/4 = π/2 ≈ 1,57 rad/s |
→ Maksimum hız: v_max = ω·A = (π/2)·0,08 = 0,04π ≈ 0,126 m/s |
→ Maksimum ivme: a_max = ω²·A = (π²/4)·0,08 ≈ 0,197 m/s² |
✓ ω = π/2 rad/s · v_max ≈ 0,13 m/s · a_max ≈ 0,20 m/s² |
Sık Yapılan Hatalar
TYT ve AYT'de BHH sorularında öğrencilerin en çok yanıldığı üç hata türü:
⚡ Hızın Genlikte Maksimum Olduğunun Sanılması Sezgisel olarak en uçta hız en yüksekmiş gibi düşünülür; oysa genlikte (x = ±A) hız sıfırdır. ✓ Hız, denge noktasında (x = 0) maksimum; genlik noktasında sıfırdır. |
🔄 İvmenin Yönünün Yanlış Belirlenmesi a = −ω²x formülündeki negatif işaret göz ardı edilir. Cisim x > 0 yönündeyse ivme negatif (dengeye doğru) olmalıdır. ✓ İvme her zaman denge noktasına doğrudur; x ile ters yönlüdür. |
⚖️ Sarkaçta Kütlenin Periyodu Etkilediğinin Sanılması T = 2π·√(L/g) formülünde kütle (m) hiç yoktur. Farklı ağırlıktaki sarkançlar aynı uzunlukta eşit sürede salınır. ✓ Basit sarcın periyotu yalnızca uzunluğa (L) ve yer çekimine (g) bağlıdır. |
Basit Harmonik Hareket Hızlı Özet
- Basit harmonik hareket, F = −kx şartını sağlayan, denge noktasına doğru yönelen kuvvetle oluşan periyodik harekettir.
- Düzgün çembersel hareket yapan bir noktanın bir çap üzerindeki izdüşümü basit harmonik harekettir; ω hem çembersel açısal hız hem de BHH'nin açısal frekansıdır.
- Hız denge noktasında (x = 0) maksimum, genlikte (x = ±A) sıfırdır; ivme ise tam tersine genlikte maksimum, denge noktasında sıfırdır.
- Yay–kütle sisteminde periyot T = 2π·√(m/k) ile bulunur; kütle arttıkça periyot artar, yay sabiti arttıkça periyot azalır.
- Basit sarkaçta periyot T = 2π·√(L/g) ile bulunur ve kütleden bağımsızdır; sarkacın uzunluğu ve yer çekimi ivmesi belirleyicidir.
- Su dalgalarında kırınımın belirginliği dalga boyu ile yarık genişliği arasındaki orana (λ/a) bağlıdır; bu oran büyüdükçe kırınım daha belirgin olur.
- Sınavlarda en sık yapılan hatalar hızın genlikte maksimum sanılması, ivme yönünün karıştırılması ve sarkaç periyoduna kütlenin karıştığının düşünülmesidir.
