Asal Sayılar Hızlı Test Kurallar ve Örnekli Anlatım

Asal sayılar, 1'den büyük olan ve yalnızca 1'e ve kendisine tam bölünen doğal sayılardır. Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için onu, kareköküne kadar olan asal sayılara bölmeyi denemek yeter. Hiçbiri tam bölmüyorsa sayı asaldır.

Matematik dersinde sık sık karşımıza çıkan "91 asal mı?", "97 asal mı?" gibi sorular aslında basit bir mantık üzerine kuruludur. Peki asal sayı nedir ve bir sayının asal olup olmadığını nasıl anlayabiliriz? TYT ve AYT sınavlarında sıkça sorulan bu konuyu, pratik yöntemler ve bol örnekle açıklayalım.

Asal sayıları tek tek ezberlemeye çalışmak yorucudur, oysa işin özü bir kontrol kuralıdır. Yazıyı bitirdiğinde bir sayının asal olup olmadığını birkaç bölmeyle test edebileceksin. Aynı mantıkla asal çarpanlara ayırma, ortak bölen ve ortak kat sorularını da çözebileceksin.

Bu konu hangi sınıfta işleniyor?

Asal sayılar ve asal çarpanlar konusunu 6. sınıf matematik dersinde görürsün. Konu, Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli'nde "Sayılar ve Nicelikler (1)" temasında yer alır ve birinci dönemin ilk haftalarında işlenir. Önce bir sayının asal olup olmadığını ve asal çarpanlarını bulursun, sonra ortak bölen ve ortak katı günlük hayat problemlerinde kullanırsın. Yazının sonundaki TYT – AYT tarzı sorular ise üst sınıflarda tekrar edenler içindir. İlgili öğrenme çıktıları şunlardır:

• MAT.6.1.3 Bir doğal sayının asal olma durumunu ve asal çarpanlarını çözümleyebilme
• MAT.6.1.4 Günlük hayat problemleri ya da matematiksel durumlar üzerinden ortak kat ve ortak böleni yorumlayabilme

Asal Sayı Nedir?

Asal sayı, 1'den büyük doğal sayılardan sadece 1 ve kendisine tam bölünebilen sayılardır. Başka bir deyişle, asal sayıların tam olarak iki farklı böleni vardır: 1 ve kendisi.

Örneğin:

• 2 asal mıdır? Evet. Çünkü sadece 1 ve 2'ye bölünebilir.
• 3 asal mıdır? Evet. Sadece 1 ve 3'e bölünebilir.
• 4 asal mıdır? Hayır. Çünkü 1, 2 ve 4'e bölünebilir.

Önemli Not: 2, tek çift asal sayıdır. Bunun nedeni, diğer tüm çift sayıların 2'ye bölünebilmesidir. Dolayısıyla 2'den sonraki tüm asal sayılar tektir.

1 asal mı? Hayır. 1, asal sayı değildir çünkü tanım gereği asal sayıların tam olarak iki farklı böleni olmalıdır. 1'in ise sadece bir böleni vardır (kendisi).

Asal olmayan 1'den büyük doğal sayılara ise bileşik sayı denir. Bileşik sayılar, birden fazla çarpanın çarpımı şeklinde yazılabilir. Örneğin 6 = 2 × 3, dolayısıyla 6 bileşik bir sayıdır.

Mantık: Bir sayının bileşik olduğunu göstermek için bütün bölenlerini bulman gerekmez. 1 ve kendisi dışında tek bir bölen bulman yeter, çünkü o an bölen sayısı ikiyi geçer.

Asal Sayı En Hızlı Kontrol Yöntemi (√n Kuralı)

Bir sayının asal olup olmadığını test etmenin en pratik yolu √n kuralıdır. Bu yöntem şu şekilde çalışır:

1) Sayıyı 2, 3, 5, 7 gibi küçük asal sayılara bölerek başla

Öncelikle kontrol edeceğiniz sayıyı en küçük asal sayılara bölmeyi deneyin. Eğer tam bölünüyorsa, o sayı asal değildir.

2) √n değerine kadar bölen kontrol et

Bir sayının karekökü değerine kadar olan asal sayılarla bölünüp bölünmediğini kontrol etmek yeterlidir. Çünkü eğer bir sayı √n'den büyük bir bölene sahipse, mutlaka √n'den küçük bir eşlenik böleni de vardır.

Örnek: 91 sayısını kontrol edelim.

• √91 ≈ 9,5
• 9,5'e kadar olan asal sayılar: 2, 3, 5, 7

Kontrol:

• 91 ÷ 2 = 45,5 (tam bölünmez)
• 91 ÷ 3 = 30,33... (tam bölünmez)
• 91 ÷ 5 = 18,2 (tam bölünmez)
• 91 ÷ 7 = 13 (tam bölünür!)

91 asal mı? Hayır! 91 = 7 × 13 olduğu için asal değildir.

3) Hiçbir bölen bulunmazsa sayı asaldır

Eğer √n değerine kadar hiçbir asal sayıya tam bölünmüyorsa, kontrol ettiğiniz sayı asaldır.

Örnek: 97 sayısını kontrol edelim.

• √97 ≈ 9,8
• 9,8'e kadar olan asal sayılar: 2, 3, 5, 7

Kontrol:

• 97 ÷ 2 = 48,5 (tam bölünmez)
• 97 ÷ 3 = 32,33... (tam bölünmez)
• 97 ÷ 5 = 19,4 (tam bölünmez)
• 97 ÷ 7 = 13,85... (tam bölünmez)

97 asal mı? Evet! Hiçbir asal sayıya tam bölünmediği için 97 asaldır.

Asal sayı hızlı test adımları (özet tablo)

Aşağıdaki sırayı izlersen 100'den küçük her sayıyı en fazla dört denemeyle test edersin. Tabloda adımları 91 üzerinde görüyorsun.

Asal Çarpanlara Ayırma Nasıl Yapılır? (6. Sınıf Düzeyi)

Asal çarpanlara ayırma, bir sayıyı yalnızca asal sayıların çarpımı biçiminde yazmaktır. Sayıyı, tam bölündüğü en küçük asal sayıya bölersin ve bölümü yazarsın. Aynı işlemi bölüm 1 olana kadar sürdürürsün. Kullandığın asal sayılar, o sayının asal çarpanlarıdır.

Çözümlü örnek: 84 sayısını birlikte asal çarpanlarına ayıralım.

• 84 ÷ 2 = 42
• 42 ÷ 2 = 21
• 21 ÷ 3 = 7
• 7 ÷ 7 = 1 (bölüm 1 oldu, işlem bitti)

Kullandığımız asal sayıları çarpım olarak yazalım: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7. Buna göre 84'ün asal çarpanları 2, 3 ve 7'dir. Sağlamasını da yapalım: 4 × 3 = 12 ve 12 × 7 = 84.

Kural: Bölmeye hep en küçük asal sayıdan başla ve o sayı bölmeyene kadar devam et. Böylece hiçbir asal çarpanı atlamazsın.

Günlük hayattan: 84 bilyeyi eşit sayıda bilye içeren kutulara koymak istediğini düşün. Asal çarpanlar sana seçenekleri gösterir: 2'şerli, 3'erli ya da 7'şerli kutular hiç bilye artırmaz.

Ortak Bölen ve Ortak Kat (EBOB - EKOK) Nedir? (6. Sınıf Düzeyi)

İki sayıyı da tam bölen sayılara ortak bölen, iki sayının da katı olan sayılara ortak kat denir. Ortak bölenlerin en büyüğü EBOB, ortak katların en küçüğü EKOK diye kısaltılır. İkisini de bölenleri ve katları listeleyerek bulabilirsin.

Çözümlü örnek: 12 ve 18 sayılarının ortak bölenlerini ve ortak katlarını bulalım.

Ortak bölenlerin en büyüğü 6'dır, yani EBOB(12, 18) = 6. Ortak katların en küçüğü 36'dır, yani EKOK(12, 18) = 36. Asal çarpanlarla da doğrulayabilirsin: 12 = 2 × 2 × 3 ve 18 = 2 × 3 × 3 olduğundan ortak çarpanların çarpımı 2 × 3 = 6 eder.

Günlük hayattan: Bir sınıfta 12 kız ve 18 erkek öğrenci var. Her grupta eşit sayıda kız ve eşit sayıda erkek olacaksa en fazla 6 grup kurabilirsin. Her grupta 2 kız ve 3 erkek bulunur.

Ortak kat ise tekrar eden olaylarda işine yarar. Bir duraktan iki otobüs birlikte kalkıyor; biri 12, diğeri 18 dakikada bir sefer yapıyor. İkisi yeniden birlikte 36 dakika sonra kalkar, çünkü 36 hem 12'nin hem 18'in ilk ortak katıdır.

Dikkat: Paylaştırma ve gruplama sorularında ortak bölen, yeniden karşılaşma sorularında ortak kat ararsın. Bölen sayıdan büyük olamaz, kat ise sayıdan küçük olamaz; sonucunu bu ölçüyle denetle.

6. sınıf düzeyi çözümlü örnekler

Örnek 1: 60 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli nedir?

Çözüm: 60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15, 15 ÷ 3 = 5 ve 5 ÷ 5 = 1. Böylece 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5 bulunur. Asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.

Örnek 2: 16 ve 24 sayılarının en büyük ortak böleni ve en küçük ortak katı kaçtır?

Çözüm: 16'nın bölenleri 1, 2, 4, 8, 16; 24'ün bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24'tür. Ortak bölenler 1, 2, 4 ve 8 olduğundan en büyüğü 8'dir. 16'nın katları 16, 32, 48; 24'ün katları 24, 48 diye gider. İlk ortak kat 48'dir.

Cevap: EBOB = 8, EKOK = 48

En Çok Sorulan Sayılar - "X Asal mı?" Detaylı Açıklamalar

Öğrencilerin en çok merak ettiği sayıları tek tek inceleyelim:

91 asal mı?

Hayır. 91 asal değildir.

91'i kontrol etmek için √91 ≈ 9,5 değerine kadar olan asal sayıları denemeliyiz. 91 sayısı 7'ye tam bölünür: 91 = 7 × 13

Dolayısıyla 91'in iki çarpanı vardır ve bileşik bir sayıdır. Bu, TYT sorularında sıkça kullanılan bir tuzaktır çünkü 91 tek sayı olduğu için bazı öğrenciler asal olduğunu düşünebilir.

97 asal mı?

Evet. 97 asal sayıdır.

97'yi 2, 3, 5, 7 gibi asal sayılara böldüğümüzde hiçbirine tam bölünmez. √97 ≈ 9,8 olduğu için 9,8'e kadar olan tüm asal sayıları kontrol etmemiz yeterlidir. Sonuç: 97 asal mıdır? Kesinlikle evet.

101 asal mı?

Evet. 101 asal sayıdır.

101 sayısını kontrol edelim:

• √101 ≈ 10,05
• 10'a kadar olan asal sayılar: 2, 3, 5, 7

Kontrol:

• 101 tek sayı, 2'ye bölünmez
• 1+0+1 = 2, 3'e bölünmez
• Son basamak 1, 5'e bölünmez
• 101 ÷ 7 = 14,42... (tam bölünmez)

101 asal mıdır? Evet, 101 asal sayıdır.

51 asal mı?

Hayır. 51 asal değildir.

51'in rakamları toplamı: 5 + 1 = 6. 6 sayısı 3'e bölünüyorsa, 51 de 3'e bölünür. 51 = 3 × 17

Dolayısıyla 51 bileşik bir sayıdır.

121 asal mı?

Hayır. 121 asal değildir.

121, 11'in karesidir: 121 = 11 × 11 = 11²

Tüm kare sayılar (4, 9, 16, 25, 36, 49...) bileşik sayılardır çünkü en az bir çarpanları vardır. Daha açık söylersek, 1'den büyük her kare sayının 1 ve kendisi dışında en az bir böleni daha vardır.

57 asal mı?

Hayır. 57 asal değildir.

57'nin rakamları toplamı: 5 + 7 = 12. 12 sayısı 3'e bölündüğü için 57 de 3'e bölünür. 57 = 3 × 19

49 asal mı?

Hayır. 49 asal değildir.

49, 7'nin karesidir: 49 = 7 × 7 = 7²

79 asal mı?

Evet. 79 asal sayıdır.

79'u kontrol edelim:

• √79 ≈ 8,9
• 8,9'a kadar olan asal sayılar: 2, 3, 5, 7

Kontrol:

• 79 tek sayı, 2'ye bölünmez
• 7+9 = 16, 3'e bölünmez
• Son basamak 9, 5'e bölünmez
• 79 ÷ 7 = 11,28... (tam bölünmez)

79 asal mıdır? Evet, 79 asal sayıdır.

Asal Sayılar Listesi (100'e Kadar Olan Asal Sayılar)

100'e kadar olan asal sayılar şunlardır:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Toplam: 100'e kadar 25 adet asal sayı vardır.

İlginç bilgi: Asal sayılar sonsuz sayıdadır. Bu, antik Yunan matematikçisi Öklid tarafından M.Ö. 300'lerde matematiksel olarak kanıtlanmıştır. Ne kadar büyük bir asal sayı bulursanız bulun, her zaman daha büyük bir asal sayı vardır.

Asal Sayı Olmayan Sayılar ve Nedenleri

Asal olmayan sayılara bileşik sayılar denir. Bileşik sayılar, 1 ve kendisi dışında en az bir bölene daha sahiptir.

Çarpanları olan sayılar: Herhangi bir sayı iki veya daha fazla sayının çarpımı olarak yazılabiliyorsa bileşiktir. Örneğin:

• 6 = 2 × 3
• 15 = 3 × 5
• 24 = 2 × 2 × 2 × 3

Kare sayıların neden asal olmadığı: Kare sayılar, bir sayının kendisiyle çarpılmasıyla elde edilir. Bu nedenle her zaman en az üç bölene sahiptir:

• 4 = 2 × 2 (bölenleri: 1, 2, 4)
• 9 = 3 × 3 (bölenleri: 1, 3, 9)
• 16 = 4 × 4 (bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16)

Tek sayılar ve asal sayılar: Tüm tek sayılar asal değildir. Örneğin 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35 gibi sayılar tektir ama asal değildir.

Asal Sayı Kontrolünde Sık Yapılan Hatalar

1. 1'in asal sanılması

En yaygın hatalardan biri, 1'i asal sayı olarak kabul etmektir. Ancak tanım gereği asal sayıların tam olarak iki farklı böleni olmalıdır. 1'in ise sadece bir böleni vardır (kendisi).

2. Sadece çift sayılar üzerinden düşünmek

Bazı öğrenciler, "çift sayılar asal değildir" kuralını genelleştirerek "tek sayılar asaldır" gibi yanlış bir sonuca varır. Ancak 9, 15, 21, 25, 27, 33 gibi birçok tek sayı asal değildir.

3. √n kuralını bilmemek

Büyük sayılarda asal kontrolü yaparken √n kuralını bilmemek, gereksiz yere çok fazla bölme işlemi yapmaya neden olur. Örneğin 91 için 2, 3, 5, 7 asal sayılarını kontrol etmek yeterlidir; 11, 13, 17 gibi sayıları kontrol etmeye gerek yoktur.

4. 3'e bölünebilme testini atlamak

Özellikle 51, 57, 87, 91 gibi sayılarda 3'e bölünebilme testi unutulur. Bir sayının rakamları toplamı 3'e bölünüyorsa, o sayı da 3'e bölünür. Bu test çok hızlı sonuç verir.

Örnek: 91 için rakamlar toplamı 9+1=10. 10 sayısı 3'e bölünmediği için 91 de 3'e bölünmez. Ama 7'ye kontrol etmeyi unutmamak gerekir.

TYT – AYT Tarzı Örnek Sorular (Çözümlü)

Soru 1: İkiz Asal Sayılar

Soru: p asal sayı olmak üzere, p + 2 de asal ise bu sayı çiftlerine ne ad verilir?

Çözüm: Aralarındaki fark 2 olan asal sayı çiftlerine ikiz asal sayılar denir.

Örnekler:

• 3 ve 5
• 5 ve 7
• 11 ve 13
• 17 ve 19
• 29 ve 31
• 41 ve 43

Cevap: İkiz asal sayılar

Soru 2: Asal Sayı Mantık Sorusu

Soru: x bir doğal sayı olmak üzere, x² + 1 ifadesinin asal sayı olması için x hangi değeri almalıdır? Koşulu sağlayan en küçük değeri işaretle.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm: Şıkları deneyelim:

• x = 1 → 1² + 1 = 2 (asal)
• x = 2 → 2² + 1 = 5 (asal)
• x = 3 → 3² + 1 = 10 = 2 × 5 (asal değil)
• x = 4 → 4² + 1 = 17 (asal)
• x = 5 → 5² + 1 = 26 = 2 × 13 (asal değil)

Birden fazla şık doğru olabilir, ancak genellikle soruda "en küçük x değeri" gibi bir ifade aranır. Burada ifade x = 1, 2 ve 4 için asal olur; en küçük değer istendiği için 1'i seçeriz.

Cevap: x = 1 (en küçük değer)

Soru 3: Çarpan İnceleme

Soru: 2 ≤ n ≤ 20 aralığında kaç tane asal sayı vardır?

Çözüm: 2 ile 20 arasındaki asal sayıları listeleyelim:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

Cevap: 8 adet

Hızlı İpucu: Bir sayının asal olup olmadığını anlamanın en hızlı yolu √n kuralıdır. Sayının kareköküne kadar olan asal sayılara bölünüp bölünmediğini kontrol etmeniz yeterlidir.

Önemli Not: 1 asal sayı değildir. Asal sayıların tanımı gereği tam olarak iki farklı böleni olmalıdır.

İlginç Bilgi: 2, tek çift asal sayıdır. Bunun nedeni, 2'den büyük tüm çift sayıların 2'ye bölünebilmesidir.

PDF DERS NOTU İNDİR

Asal Sayılar Hızlı Özet

• Asal sayı, 1'den büyük ve sadece 1 ile kendisine bölünebilen doğal sayılardır.
• 1 asal değildir. En küçük asal sayı 2'dir. Aynı zamanda 2, tek çift asal sayıdır.
• Asal sayılar hızlı test için √n kuralını kullanır: sayıyı kareköküne kadar olan asal sayılara bölmeyi denersin.
• 91 = 7 × 13 olduğu için bileşik bir sayıdır. 97 ise 2, 3, 5, 7 gibi küçük asal sayılara bölünmediği için asaldır.
• 51 = 3 × 17 olduğu için asal değildir. Rakamları toplamı 3'e bölünen her sayı 3'e de bölünür.
• Asal çarpanlara ayırırken en küçük asal sayıdan başlarsın; örneğin 84 = 2² × 3 × 7.
• Ortak bölenlerin en büyüğü EBOB, ortak katların en küçüğü EKOK'tur; 12 ile 18 için bunlar 6 ve 36'dır.

Asal Sayılar Mini Test

1. Aşağıdaki sayılardan hangisi asaldır?
A) 51   B) 57   C) 61   D) 91

2. 90 sayısının asal çarpanları hangileridir?
A) 2 ve 5   B) 2, 3 ve 5   C) 3, 5 ve 9   D) 2, 5 ve 9

3. 20 ile 30 arasında kaç tane asal sayı vardır?
A) 1   B) 2   C) 3   D) 4

4. 18 ve 30 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?
A) 2   B) 3   C) 6   D) 9

5. Okulda iki zil aynı anda çalıyor. Biri 8, diğeri 12 dakikada bir çaldığına göre ikisi kaç dakika sonra yeniden birlikte çalar?
A) 12   B) 20   C) 24   D) 96

Cevap anahtarı

• 1. C: √61 ≈ 7,8 olduğundan 2, 3, 5 ve 7 denenir; 61 hiçbirine tam bölünmez.
• 2. B: 90 = 2 × 3 × 3 × 5 olduğundan asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir; 9 asal değildir.
• 3. B: Bu aralıktaki asal sayılar yalnızca 23 ve 29'dur.
• 4. C: Ortak bölenler 1, 2, 3 ve 6'dır; en büyüğü 6'dır.
• 5. C: 8'in katları 8, 16, 24; 12'nin katları 12, 24 diye gider ve ilk ortak kat 24'tür.