8. sınıf matematik eşlik ve benzerlik konusunda eş şekiller, karşılıklı kenarları ve açıları birebir eşit olan, üst üste çakışan şekillerdir. Benzer şekiller ise karşılıklı açıları eşit, karşılıklı kenarları aynı oranda olan şekillerdir. Her eş şekil benzerdir (benzerlik oranı 1), ama her benzer şekil eş değildir.
Ders özeti PDF: 8. sınıf eşlik ve benzerlik ders özetini PDF olarak indir (3 sayfa: kavram özeti, 5 çözümlü örnek, cevap anahtarlı 10 soruluk test).
Bu konuda en çok iki yerde zorlanırsın: eş ile benzeri karıştırmak ve kenarları yanlış eşleştirmek. Bu 8. sınıf matematik eşlik ve benzerlik konu anlatımı, ikisini de örneklerle netleştirir. Yazıyı bitirdiğinde iki şeklin eş mi benzer mi olduğunu söyleyebilir, benzerlik oranını kendin hesaplayabilirsin.
Eş şekiller birbirinin kopyasıdır; benzer şekiller aynı biçimin farklı boylarıdır.
Eşlik ve Benzerlik Hangi Sınıfta, Hangi Ünitede?
Eşlik ve benzerlik, 8. sınıf matematik dersinin Geometri ve Ölçme öğrenme alanında yer alır. Taslak yıllık plana göre mayıs ayının ilk haftasında işlenir; okulunun planı birkaç gün farklı olabilir. Kenar ve açı bilgin taze olsun diye önce 8. sınıf üçgenler konusu üzerinden kısa bir tekrar yapabilirsin. Konu 8. sınıfta işlendiği için LGS hazırlığında da karşına çıkar; fotoğraf büyütürken ya da harita okurken de aynı fikri kullanırsın.
Bu konuda senden beklenenler şunlardır:
- M.8.3.3.1: Eşlik ve benzerliği ilişkilendirirsin, eş ve benzer şekillerin kenar ve açı ilişkilerini belirlersin.
- M.8.3.3.2: Benzer çokgenlerin benzerlik oranını belirlersin, bir çokgene eş ve benzer çokgenler oluşturursun.
Eş Şekil ile Benzer Şekil Arasındaki Fark Nedir?
Aklındaki soru “eşlik ve benzerlik kuralı nedir” ise cevap kısadır. Eşlikte hem biçim hem büyüklük aynıdır, benzerlikte yalnız biçim aynıdır. Yani eş şekiller birbirinin kopyasıdır. Benzer şekiller ise birbirinin büyütülmüş ya da küçültülmüş hâlidir.
Mutfaktan bir örnek verelim. Aynı kalıpla kesilen iki kurabiye eştir, çünkü üst üste koyunca tam oturur. Aynı fotoğrafın vesikalık baskısı ile poster baskısı ise benzerdir. Yüz aynıdır, yalnız boyut değişmiştir.
Eş Şekillerde Kenar ve Açı İlişkisi Nasıldır?
Eş iki şekli üst üste koyduğunda tam çakışır, hiçbir yer dışarı taşmaz. Şekli döndürmen ya da ters çevirmen eşliği bozmaz. Önemli olan ölçülerin aynı kalmasıdır.
Kural: İki şekil eşse karşılıklı bütün kenar uzunlukları ve karşılıklı bütün açı ölçüleri birbirine eşittir.
Mantık: Çakışan iki şekilde her kenar bir kenarın, her açı bir açının tam üstüne gelir. Arada fark kalsaydı şekiller çakışmazdı.
Benzer Şekillerde Kenar ve Açı İlişkisi Nasıldır?
Benzer şekillerde açılar aynı kalır. Kenarlar ise hep aynı sayıyla çarpılmış gibi büyür ya da küçülür. Bir kenar 2 katına çıktıysa diğer bütün kenarlar da 2 katına çıkar.
İki şart birlikte gerekir, çünkü ikisi de biçimi korur. Açılar değişseydi şeklin köşeleri bozulurdu. Kenarlar farklı oranlarda büyüseydi şekil bir yöne doğru uzardı. Telefonunda bir fotoğrafı iki parmağınla büyüttüğünde yüzlerin uzamaması bu yüzdendir.
| Özellik | Eş Şekil | Benzer Şekil |
|---|---|---|
| Karşılıklı açılar | Eşit | Eşit |
| Karşılıklı kenarlar | Eşit | Orantılı (aynı oranda) |
| Büyüklük | Aynı | Aynı ya da farklı |
| Benzerlik oranı | 1 | Pozitif herhangi bir sayı |
| Üst üste çakışma | Çakışır | Yalnız oran 1 ise çakışır |
| Sembol | ≅ | ∼ |
Tablodan şu sonuç çıkar: eşlik, benzerliğin özel bir hâlidir. Oran 1 olduğunda kenarlar hiç değişmez ve benzer şekiller aynı zamanda eş olur.
Benzerlik Oranı Nasıl Hesaplanır?
Benzerlik oranı, benzer iki şeklin karşılık gelen kenar uzunluklarının birbirine bölümüyle bulunan sayıdır. Genellikle k harfiyle gösterilir.
Kural: k = bir şeklin kenarı ÷ diğer şeklin karşılık gelen kenarı. Hangi karşılıklı kenar çiftini seçersen seç aynı sayıyı bulursun. Çünkü benzer şekilde bütün kenarlar aynı çarpanla büyür; bölünce hep o çarpan çıkar.
Kenarları 4 cm ve 6 cm olan bir dikdörtgen düşün. Öbür dikdörtgenin kenarları 6 cm ve 9 cm olsun. Kısa kenarları oranla: 6 ÷ 4 = 1,5. Uzun kenarları oranla: 9 ÷ 6 = 1,5.
Kısa kenarların oranı da uzun kenarların oranı da 1,5 çıkar; bu yüzden iki dikdörtgen benzerdir.
İki oran eşit çıktı, demek ki dikdörtgenler benzerdir ve k = 1,5 olur. Bölmeyi ters yönde yapsaydın 4 ÷ 6 = 2/3 bulurdun. İkisi de doğrudur, yeter ki her kenar çiftinde aynı yönde böl.
Dikkat: Büyük şekli küçüğe bölerek başladıysan sonuna kadar öyle devam et. Yönü ortada değiştirirsen benzer şekillerde bile oranlar tutmaz.
Haritalar bu fikirle çizilir. Kâğıttaki okul bahçesi ile gerçek bahçe benzerdir, yalnız biri çok küçüktür. Haritadaki her uzunluk, gerçeğinin aynı oranda küçültülmüş hâlidir.
Eşlik ve Benzerlik Sembolleri Nelerdir?
Her seferinde “bu iki üçgen eştir” diye uzun uzun yazmak yerine kısa işaretler kullanırız. İki işaret birbirine çok yakın olduğu için ilk başta karışabilir. Aradaki farkı bir kez görmen yeter.
Eşlik Sembolü Nasıl Yazılır?
Sık sorulan “matematikte eşlik sembolü nedir” sorusunun cevabı ≅ işaretidir. Üstünde dalgalı bir çizgi, altında eşittir işareti vardır. ABC ≅ DEF yazdığında “ABC üçgeni DEF üçgenine eştir” demiş olursun.
Benzerlik Sembolü Nasıl Yazılır?
Peki üçgenlerde benzerlik sembolü nedir? Bu kez yalnızca dalgalı çizgi kullanılır: ∼. ABC ∼ DEF ifadesi “ABC üçgeni DEF üçgenine benzerdir” diye okunur. Altındaki eşittir işareti yoktur, çünkü kenarların eşit olması şart değildir.
Hatırlatma: Harflerin sırası rastgele değildir. ABC ∼ DEF yazıyorsa A köşesi D ile, B köşesi E ile, C köşesi F ile eşleşir. Bu sıra sana hangi kenarı hangisiyle oranlayacağını söyler: AB ile DE, BC ile EF, AC ile DF.
Bunu maç öncesi tokalaşmaya benzetebilirsin. İki takım sıraya dizilir; birinci oyuncu birinciyle, ikinci oyuncu ikinciyle eşleşir. Sırayı bozarsan yanlış kişiyle tokalaşırsın.
Üçgenlerde Benzerlik Kuralları Nelerdir? (Kısa Özet)
Üçgenlerde bütün kenarları ve açıları tek tek ölçmek zorunda değilsin. Birkaç bilgi, iki üçgenin benzer olduğunu göstermeye yeter. KKK, KAK ve AA adlarıyla bilinen bu kısa yolları üçgenlerde benzerlik kuralları yazımızda ayrıntısıyla bulursun.
Burada aklında tutman gereken şey şudur: hangi kısa yolu kullanırsan kullan sonuç değişmez. Benzer üçgenlerde karşılıklı açılar eşit, karşılıklı kenarlar orantılıdır. Güneşli bir günde sen ve gölgen bir üçgen, yanındaki ağaç ve gölgesi başka bir üçgen oluşturur; bu iki üçgen benzerdir.
Eşlik ve Benzerlik Çözümlü Örnekleri Nasıl Çözülür?
Şimdi dört örneği birlikte çözelim. Hepsinde aynı sırayı izle: önce karşılıklı kenarları eşleştir, sonra oranla, en son karar ver.
Örnek 1: Eş mi, Benzer mi?
Kenarları 5 cm, 5 cm ve 7 cm olan bir üçgen var. Başka bir üçgenin kenarları da 5 cm, 5 cm ve 7 cm. İki kenarı eşit olduğu için bunların her biri bir ikizkenar üçgen örneğidir. Bu iki üçgen eş midir?
- Kenarları eşleştir: 5 ile 5, 5 ile 5, 7 ile 7.
- Oranla: 5 ÷ 5 = 1 ve 7 ÷ 7 = 1.
- Karar ver: Bütün kenarlar birebir eşit, yani üçgenler eştir.
Benzerlik oranı 1 çıktığı için bu üçgenler aynı zamanda benzerdir.
Örnek 2: Bilinmeyen Kenarı Bulma
Benzer iki üçgenden küçüğünün kenarları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. Büyük üçgenin en kısa kenarı 9 cm'dir. Diğer iki kenar kaç santimetredir?
- En kısa kenarları eşleştir: 9 ile 6.
- Oranı bul: k = 9 ÷ 6 = 1,5.
- Diğer kenarları aynı sayıyla çarp: 8 × 1,5 = 12 ve 10 × 1,5 = 15.
Büyük üçgenin kenarları 9 cm, 12 cm ve 15 cm olur.
Örnek 3: Açılar Eşit Ama Şekiller Benzer mi?
Bir kenarı 4 cm olan bir kare ile kenarları 4 cm ve 8 cm olan bir dikdörtgen veriliyor. İkisinin de bütün açıları 90°'dir. Bu iki şekil benzer midir?
- Kısa kenarları oranla: 4 ÷ 4 = 1.
- Uzun kenarları oranla: 8 ÷ 4 = 2.
- Karar ver: Oranlar eşit değil, şekiller benzer değildir.
Açıların eşit olması tek başına yetmedi; kenar oranı da tutmalıydı.
Örnek 4: Fotoğrafı Büyütme
Kenarları 10 cm ve 15 cm olan bir fotoğraf, biçimi bozulmadan büyütülecek. Yeni fotoğrafın kısa kenarı 20 cm olacak. Uzun kenar kaç santimetre olur?
- Kısa kenarları eşleştir: 20 ile 10.
- Oranı bul: k = 20 ÷ 10 = 2.
- Uzun kenarı aynı sayıyla çarp: 15 × 2 = 30.
Yeni fotoğraf 20 cm'ye 30 cm olur ve ilk fotoğrafa benzerdir.
Eşlik ve Benzerlik Konusunda Sık Yapılan Hatalar Nelerdir?
Bu konuda yanlışların çoğu işlem hatasından değil, aceleden gelir. Aşağıdaki üç hatayı tanırsan soruda ne arayacağını bilirsin.
- Eş ile benzeri karıştırmak: Eş şekiller her zaman benzerdir, ama benzer şekiller her zaman eş değildir. Karar vermeden önce büyüklüğe de bak.
- Kenarları yanlış eşleştirmek: Kısa kenarı uzun kenarla oranlarsan sonuç anlamsız çıkar. En kısa en kısayla, en uzun en uzunla eşleşir.
- Yalnız açılara bakmak: Açıların eşit olması çokgenlerde benzerlik için yetmez. Kenar oranlarını da tek tek kontrol et.
Televizyon ekranları üçüncü hataya güzel bir örnektir. Hepsi dikdörtgendir ve bütün açıları 90°'dir. Yine de kareye yakın eski bir ekran ile geniş bir ekran benzer değildir, çünkü kenar oranları farklıdır.
Eşlik ve Benzerlik Hızlı Özet
- Eş şekiller üst üste çakışır; karşılıklı kenarları ve açıları eşittir.
- Benzer şekillerde karşılıklı açılar eşit, karşılıklı kenarlar orantılıdır.
- Benzerlik oranı (k), karşılık gelen iki kenarın birbirine bölümüdür.
- k = 1 ise şekiller eştir; her eş şekil benzerdir, tersi her zaman doğru değildir.
- Eşlik ≅, benzerlik ∼ sembolüyle gösterilir; harf sırası eşleşen köşeleri verir.
- Çokgenlerde benzerlik için açı eşitliği ve kenar orantısı birlikte aranır.
- Oranlarken her kenar çiftinde aynı yönde böl.
Eşlik ve Benzerlik Mini Test
Öğrendiklerini beş soruyla dene. Önce kendin çöz, sonra cevap anahtarına bak. Bu sorular 8. sınıf matematik eşlik ve benzerlik konusunun temel becerilerini yoklar.
- Kenarları 3 cm ve 5 cm olan dikdörtgen ile kenarları 6 cm ve 10 cm olan dikdörtgen benzerdir. Büyüğün küçüğe benzerlik oranı kaçtır?
- Benzer iki üçgende büyüğün küçüğe oranı 3'tür. Küçük üçgenin bir kenarı 4 cm ise büyük üçgende buna karşılık gelen kenar kaç santimetredir?
- “Her benzer şekil eştir.” ifadesi doğru mudur?
- Kenarları 2 cm ve 3 cm olan dikdörtgen ile kenarları 4 cm ve 9 cm olan dikdörtgen benzer midir?
- ABC ≅ DEF veriliyor. |AB| = 7 cm ve C açısı 50° ise |DE| uzunluğu ve F açısı kaçtır?
Cevap Anahtarı
- 2. 6 ÷ 3 = 2 ve 10 ÷ 5 = 2 olduğundan oran 2'dir.
- 12 cm. Karşılık gelen kenar 4 × 3 = 12 cm olur.
- Yanlış. Benzer şekiller farklı büyüklükte olabilir; yalnız oran 1 ise eştirler.
- Hayır. 4 ÷ 2 = 2, 9 ÷ 3 = 3 çıkar; oranlar eşit olmadığı için benzer değildir.
- 7 cm ve 50°. Eş üçgenlerde AB ile DE, C açısı ile F açısı eşleşir ve eşittir.
Daha fazla alıştırma istersen eşlik ve benzerlik soruları sayfasında pratik yapabilirsin. Küçük bir ödev de bırakalım: evindeki iki farklı boy fotoğraf çerçevesinin kenarlarını ölç ve oranla. Oranlar eşit çıkarsa elinde iki benzer dikdörtgen var demektir.
8. Sınıf Matematik Eşlik ve Benzerlik PDF: Konu Özeti ve Test
Konuyu tekrar etmek istediğinde elinin altında dursun diye 8. sınıf matematik eşlik ve benzerlik PDF dosyasını hazırladık. PDF'te eş-benzer karşılaştırma tablosu, benzerlik oranı hesaplama örnekleri ve cevap anahtarlı 10 soruluk test var. Üç sayfalık bu ders notu konu özetiyle başlar, çözümlü örneklerle devam eder. Çıktısını alıp defterine ekleyebilir ya da telefonundan açabilirsin. Eşlik ve benzerlik konu özetini ve testini ücretsiz indir; üyelik gerekmez. Testi çözdükten sonra yanlışlarını cevap anahtarından kontrol et.
