15 75 90 Üçgeni Nedir?

15 75 90 üçgeni, açıları 15°, 75° ve 90° olan özel bir dik üçgendir; 75-15-90, 90-15-75 ve 90-75-15 üçgeni de aynı üçgenin farklı yazılışlarıdır. Kenar oranları 1 : (2+√3) : (√6+√2) şeklindedir. Hipotenüse ait yükseklik h ise hipotenüs 4h’tir; bu h-4h kuralı sayesinde tek bir yükseklik bilinerek hipotenüs hızlıca bulunur.

15-75-90 üçgeni, TYT-AYT geometri ve matematik konularında sıkça karşımıza çıkan, kendine has kurallarıyla problem çözümünde hız kazandıran özel bir dik üçgendir. Kullanıcılar bu rehberde "15-75-90 üçgeni nedir, nasıl çözülür?" sorusunun cevabını, üçgenin özelliklerini, kenar oranlarını ve örnek sorularını öğreneceklerdir. Bu detaylı rehberde, bu özel üçgenin tüm sırlarını adım adım, görsellerle desteklenmiş bir şekilde keşfedeceğiz.

Son güncelleme: Ekim 2026

15 75 90 Üçgeni Nedir?

15-75-90 üçgeni, matematiğin geometri dalında yer alan ve iç açılarının sırasıyla 15,75,90 olduğu özel bir dik üçgendir. Tüm dik üçgenler gibi, iç açılarının toplamı 180 derecedir.

Bu 15-75-90 özel üçgeninin en dikkat çekici yönü, kenar uzunlukları arasında sabit ve değişmez oranlar bulunmasıdır. Bu sabit oranlar, trigonometrik hesaplamalar yapmadan birçok geometri problemini hızlıca çözmenize olanak tanır. Bu sebeple, 15-75-90 üçgeni, TYT-AYT geometri konularında sıkça karşımıza çıkan özel üçgenlerden biridir.

15 75 90 üçgeni, adından da anlaşılacağı gibi açıları 15°, 75° ve 90° olan bir özel üçgendir. Matematikte “özel üçgen” olarak adlandırılır çünkü açılarının ve kenarlarının birbirleriyle belirli oranları vardır.

Diğer adları: “90 15 75 üçgeni”, “15 75 90 özel üçgen”

Kullanım alanı: TYT ve AYT geometri soruları, trigonometrik uygulamalar ve özel ispatlarda

İpucu: 90°’lik dik açıya sahip olduğu için dik üçgen özellikleri geçerlidir.

15 75 90 üçgeni hangi özel üçgen grubuna girer?

Özel dik üçgenler grubuna girer ve trigonometrik özel üçgenlerden biridir. Aynı grupta 30-60-90 ve 45-45-90 üçgenleri de bulunur.

15 75 90 Üçgeni Özellikleri

15 75 90 üçgeni özellikleri, diğer özel üçgenlerden farklı olarak açı ve kenar oranlarıyla dikkat çeker. 15 75 90 üçgeni özellikleri konusunu derinlemesine anlamak, geometri problemlerini çözerken zaman kazanmanız için kritik öneme sahiptir. 15-75-90 üçgeninin sahip olduğu temel 15-75-90 üçgeni özellikleri şunlardır:

Açıların Sabit Oranı

• Küçük açı: 15°
• Büyük açı: 75°
• Dik açı: 90°

15 75 90 üçgeni, bir dik üçgen olduğu için iç açıları toplamı 180 derecedir. Bu özel üçgenin en belirgin özelliği, dar açılarının birbirine oranının sabit olmasıdır. Bu sabitlik, üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkinin de her zaman korunacağı anlamına gelir.

Kenar Uzunlukları Arasındaki İlişki-15,75,90 üçgeni kuralı

Kenarlar arasında belirli trigonometrik oranlar vardır:

Bu üçgenin en önemli kuralı, hipotenüse ait yükseklik (h) ile hipotenüs (c) arasındaki orandır.

Kural: 90 derecenin köşesinden hipotenüse indirilen yükseklik h ise, hipotenüs uzunluğu daima bunun 4 katıdır, yani 4h 'tır

Örnekle Açıklama: Eğer 90 derecenin köşesinden hipotenüse indirilen yükseklik 3 cm ise, hipotenüsün tamamı 4x3=12 cm 'dir

İspat (Süper Üçlü Yöntemi):

1- Hipotenüse h yüksekliğini indirelim.

2-Daha sonra hipotenüsü iki eşit parçaya bölecek kenarortayı çizelim. 3-Muhteşem üçlü kuralı ve oluşan 30-60-90 özel üçgeninden yararlanarak, 30 derecenin karşısına h dediğimizde 90 derecenin karşısı 2h olur.

4- Süper üçlüden kenarortayın ayırdığı parçalar da 2h olacağından, hipotenüsün tamamı 2h + 2h = 4h olur.

Diğer Özel Üçgenlerle Kıyaslama

15 75 90 özel üçgeni, geometrik ve trigonometrik üçgenleri kategorisinde yer alan diğer popüler özel üçgenlerden hem kenar oranları hem de pratik uygulama yöntemleri açısından ayrılır. Bu özel üçgenlerin kenar uzunluklarını ve trigonometrik değerlerini bilmemiz bize sınavlarda hız kazandırır. Bu karşılaştırma, 15 75 90 üçgeninin benzersizliğini ve neden bazı öğrenciler için daha zorlayıcı kabul edildiğini anlamanıza yardımcı olacaktır.

İpucu: 15 75 90 üçgeni, diğer özel üçgenlerden daha nadir ve genellikle sınavlarda “trigonometrik bağlantı” sorularında çıkar. Özel üçgenlerin açı-kenar oranlarını bilmek bize sınavda hız kazandırır.

Hatırlatma: Dik üçgende 30° ya da 60° görürsen 30-60-90, 45° görürsen 45-45-90, 15° ya da 75° görürsen 15-75-90 oranlarını kullan. Çünkü kenar oranını üçgenin açıları belirler.

15 75 90 Üçgeni Kuralı ve Kenar Oranları

15 75 90 üçgeni kuralı ve kenar uzunlukları arasındaki ilişki, bu özel üçgenin çözümünde kullanılan temel yöntemleri içerir. Bu kural, geometri problemlerinde bize hız kazandırır ve hipotenüs uzunluğunu kolayca bulmamızı sağlar.

15-75-90 ÜÇGENİ KURALI

Daha önceki bölümde de bahsettiğimiz gibi, 15 75 90 üçgeni kenar uzunlukları kuralının en pratik uygulaması yükseklik ve hipotenüs arasındaki basit orandır: 90 derecelik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğu h ise, hipotenüs uzunluğu daima bunun 4 katıdır, yani 4h 'tır.

Bu kural, trigonometrik değerler gibi karmaşık ifadelerle uğraşmadan hipotenüs uzunluğunu bulmanın en hızlı yoludur.

15 75 90 üçgeni nasıl ispatlanır?

Kenar oranlarını iki yolla gösterebilirsin. Trigonometrik oranlar (sin 15°, cos 75°) ve dik üçgen kuralları kullanılarak ispatlanır. 75 derecelik açıdan yardımcı doğru çizilerek 30 derece 60 derece ve 90 derece üçgeni ve ikizkenar üçgenler oluşturarak ispatlanır. h-4h kuralını ise aşağıdaki süper üçlü yöntemiyle gösteririz.

“h-4h İspatı” (Süper Üçlü Yöntemi)

h-4h ispatı için "Süper Üçlü" (Muhteşem Üçlü) kuralını kullanırız:

1. Hipotenüse h yüksekliğini indirelim.
2. Daha sonra Süper üçlüyü kullanmak için hipotenüsü iki eşit parçaya bölecek kenarortayı çizelim.
3. Oluşan 30-60-90 özel üçgeninden yararlanılır: 30 derece’nin karşısına h dediğimiz zaman 90 derecenin karşısına 2h gelecektir.
4. Süper üçlüden kenarortayın ayırdığı parçalar da 2h olduğundan, hipotenüsün tamamı 2h+2h=4h olur.

15°-75°-90° Üçgeninin Kenar Bağıntıları

Diğer dik üçgenlerde olduğu gibi 15 75 90 üçgeninde de kenarlar arasında sabit bir oran vardır. Geometrinin diğer kurallarından bu oranı kendiniz elde edebilirsiniz.

Ancak ezberlemek isterseniz kenar oranları arasında özel bir bağıntı da vardır.

15-75-90 üçgeninde, eğer 15 derecelik açının karşısındaki kenar uzunluğuna x dersek, diğer kenarların oranı şu şekilde oluşur:

• 15 derecenin karşısı (Küçük Dik Kenar): x
• 75 derecenin karşısı (Büyük Dik Kenar): x.(2 + √3)
• 90 derecenin karşısı (Hipotenüs): x(√6 + √2)

15 75 90 üçgeninde hipotenüs nasıl bulunur?

Hipotenüsü bulmanın yolu, soruda neyin verildiğine bağlıdır. Hipotenüse ait yükseklik h verildiyse hipotenüs 4h olur. Küçük dik kenar x verildiyse hipotenüs x(√6 + √2), yani yaklaşık 3,86x olur.

Günlük hayattan: Yerle 15° açı yapan bir rampanın yüksekliği 1 m olsun. Rampanın uzunluğu hipotenüstür ve yaklaşık 3,86 m çıkar.

15 75 90 Üçgeninde Alan Nasıl Bulunur?

Dik üçgende alan, dik kenarların çarpımının yarısıdır. Hipotenüs taban alındığında ise alan, hipotenüs × yükseklik / 2 olur. Hipotenüse c dersek yükseklik c/4 olduğundan alan formülü c²/8 hâlini alır.

Mantık: Yükseklik hipotenüsün dörtte biri olduğu için yalnızca hipotenüs bilinse bile alan doğrudan bulunur.

Örnek: Hipotenüs c = 12 cm ise alan = 12² / 8 = 144 / 8 = 18 cm² olur.

15 75 90 üçgeninde kenar oranları nelerdir?

Hipotenüsü bazı kaynaklarda tek kök içinde yazılmış görebilirsin. (√6 + √2)² = 8 + 4√3 olduğu için iki yazılış aynı uzunluğu verir.

15 derecenin karşısı x ise 75 derecenin karşısı x çarpı (2+√3) ve hipotenüsün uzunluğu x · √(8 + 4√3).

Trigonometrik Bağlantılar

1-Dik üçgen tanımıyla başlıyoruz:

Dikkat: Bu bölümde h harfi yüksekliği değil, hipotenüsü gösterir.

sin 15 = karşı küçük kenar/hipotenüs ile bulunur

Burada h = hipotenüs,a= küçük karşı kenar olarak adlandırılır

2-Küçük kenarı bulmak için:

a = h · sin 15°

3-Yaklaşık değer:

Aşağıdaki 1/4 yalnızca yaklaşık bir değerdir; kesin sonuç için a = h · sin 15° kullanılır.

sin 15° ≈ 0.2588 ≈ 1/4

O yüzden: a≈h/4

15 75 90 Üçgeni Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek 1

Örnek Soru 1: Bir dik üçgenin dar açıları 15 ve 75 ‘dir. Hipotenüs uzunluğu 12 cm olduğuna göre, bu üçgenin alanı kaç cm2?

Çözüm: Önce hipotenüse ait yüksekliği, sonra alanı bulalım.

• Adım 1: Hipotenüse Ait Yüksekliği Bulma
  • Bu bir 15-75-90 üçgenidir.
  • Hipotenüse ait yükseklik (h), hipotenüsün (a) dörtte biridir: h= a/4
  • Verilen: Hipotenüs (a) = 12 cm
  • Yükseklik (h) =12/4= 3cm

• Adım 2: Üçgenin Alanını Hesaplama
  • Bir üçgenin alanı, taban x yükseklik/2 formülüyle bulunur.
  • Dik üçgenlerde hipotenüs taban olarak alındığında, ona ait yükseklik kullanılır.
  • Alan=12.3/2

Cevap: Üçgenin alanı 18 cm2

Örnek 2

Soru: Bir 15 75 90 üçgeninde kısa kenar 3 cm ise hipotenüs nedir?

Çözüm: Kısa kenar a = 3 cm olduğuna göre hipotenüs = (√6 + √2) · a = 3 · (√6 + √2) ≈ 3 · 3,86 ≈ 11,59 cm’dir.

Dikkat: Hipotenüsü kısa kenarın 4 katı alıp 12 cm bulmak yanlıştır. 4 katı yalnızca hipotenüse ait yükseklik için geçerlidir.

Örnek 3

Buna göre 75°’nin karşısındaki kenar ve hipotenüs uzunluğu kaç cm’dir

Çözüm: Kenar oranı: 1 : (2 + √3) : (√6 + √2) 15° karşısı → 4 cm ise, 75° karşısı = 4 × (2 + √3) Hipotenüs = 4 × (√6 + √2)

Cevap: 75° karşısı ≈ 14.93 cm Hipotenüs ≈ 15.45 cm

İleri Kaynaklar ve Test

Bu konuda ustalaşmak ve TYT- AYT ye eksiksiz hazırlanmak için aşağıdaki kaynakları kullanabilirsiniz

PDF DERS NOTU İNDİR

Bu Konuyu Tahta App’te Test Et!: 15-75-90 Üçgeni konusuna ait yüzlerce çözümlü TYT ve AYT sorusunu şimdi Tahta App üzerinden çözerek bilginizi pekiştirin!

Neden 15 75 90 Üçgenini Öğrenmelisiniz?

• TYT ve AYT geometri sorularında kritik
• Trigonometrik oranları hızlı hesaplama imkânı sağlar

Diğer özel üçgenlerle kıyaslama yapmayı kolaylaştırır.

15 75 90 özel üçgeni, açıları ve kenarları belli oranlarla bağlı olan dik üçgenlerden biridir. Bu özel üçgeni tanımak, soruda hangi dik üçgen türüyle karşılaştığını hızlıca anlamanı sağlar.

Bu üçgeni en çok şu soru türlerinde kullanırsın:

• Trigonometrik sorular
• Özel üçgenlerle ilgili ispatlar
• Kenar oranı ve açı hesabı sorularında

15 75 90 Üçgeninde Sık Yapılan Hatalar

Bu konuda çoğunlukla aynı birkaç noktada takılırsın. Aşağıdaki tabloda hatayı ve doğrusunu yan yana görebilirsin.

Hatırlatma: Soruda hipotenüse ait yükseklik verildiyse hipotenüsü bulmak için yüksekliği 4 ile çarpman yeterlidir. Çünkü bu üçgende yükseklik, hipotenüsün dörtte biridir.

15 75 90 Üçgeni Hızlı Özet

• Açıları 15°, 75° ve 90° olan özel bir dik üçgendir.
• Kenar oranı 1 : (2+√3) : (√6+√2) şeklindedir.
• Hipotenüse ait yükseklik h ise hipotenüs 4h’tir.
• Küçük kenar a ise hipotenüs (√6+√2)·a, yaklaşık 3,86a’dır.
• Hipotenüs c ise alan c²/8’dir.
• 90-15-75 ve 90-75-15 üçgeni aynı üçgendir.

15 75 90 Üçgeni Mini Test

1. Hipotenüsü 20 cm olan bir 15 75 90 üçgeninde hipotenüse ait yükseklik kaç cm’dir?
2. Küçük dik kenarı 2 cm olan bir 15 75 90 üçgeninde 75° karşısındaki kenar kaç cm’dir? A) 2√3 B) 4+2√3 C) 4 D) 8
3. Hipotenüsü 8 cm olan bir 15 75 90 üçgeninin alanı kaç cm²dir?
4. Aşağıdakilerden hangisi 15 75 90 üçgeninin kenar oranıdır? A) 1 : √3 : 2 B) 1 : (2+√3) : (√6+√2) C) 1 : 1 : √2 D) 1 : 2 : √5
5. Küçük kenarı 1 cm olan bir 15 75 90 üçgeninde hipotenüs yaklaşık kaç cm’dir? A) 4 B) 3,86 C) 2 D) 5

Cevap Anahtarı