Bir öğrenci, doğru olduğunu düşündüğü aşağıdaki iddiayı ispatlarken bir hata yapmıştır. İddia: f: X → Y bir fonksiyon, A ve B

Question

2. Bir öğrenci, doğru olduğunu düşündüğü aşağıdaki iddiayı ispatlarken bir hata yapmıştır. İddia: f: X → Y bir fonksiyon, A ve B kümeleri X'in birer alt kümesi olmak üzere f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)'dir. Öğrencinin ispatı: f(A ∩ B) ve f(A) ∩ f(B) kümelerinin birbirlerinin alt kümeleri olduğunu gösterirsem ispat biter. Şimdi c ∈ f(A ∩ B) alalım. I. c = f(d) olacak biçimde bir d ∈ A ∩ B vardır. II. d ∈ A ve d ∈ B olduğundan f(d) ∈ f(A) ve f(d) ∈ f(B)'dir. Böylece c = f(d) ∈ (f(A) ∩ f(B)) olur. Diğer taraftan c ∈ (f(A) ∩ f(B)) alalım. III. c ∈ f(A) ve c ∈ f(B)'dir. Buradan c = f(a) olacak biçimde bir a ∈ A ve c = f(b) olacak biçimde bir b ∈ B vardır. IV. c = f(a) ve c = f(b) olduğundan a = b'dir. V. a ∈ A, b ∈ B ve a = b olduğundan a ∈ A ∩ B ve böylece c = f(a) ∈ f(A ∩ B) elde edilir. Bu öğrenci, numaralanmış adımların hangisinde hata yapmıştır? A) I B) II C) III D) IV E) V

Accepted Answer

Doğru cevap: D. Öğrenci, f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) iddiasını ispatlamaya çalışıyor (ki bu iddia genel olarak bire bir olmayan fonksiyonlar için yanlıştır). • I. Adım: c ∈ f(A ∩ B) ise c = f(d) olacak şekilde en az bir d ∈ A ∩ B vardır. (Doğru tanım) • II. Adım: d ∈ A ve d ∈ B olduğu için f(d) ∈ f(A) ve f(d) ∈ f(B) olur. Dolayısıyla c ∈ f(A) ∩ f(B) elde edilir. Böylece f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B) kapsamaması doğru ispatlanmış olur. (Doğru) • III. Adım: c ∈ f(A) ∩ f(B) alındığında c ∈ f(A) ve c ∈ f(B) olur. Buradan c = f(a) olacak şekilde bir a ∈ A ve c = f(b) olacak şekilde bir b ∈ B vardır. (Doğru tanım)

Bir öğrenci, doğru olduğunu düşündüğü aşağıdaki iddiayı ispatlarken bir hata yapmıştır. İddia: f: X → Y bir fonksiyon, A ve B

Öğretmenin Çözümü

Çözümün yazılı anlatımı

Benzer Sorular

Üç basamaklı ABC, ABD, BCA ve BDA doğal sayıları arasında, ABC < BDA BCA < ABD sıralamaları vardır

a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere A = 3 • a − 1 = 4 • b + 1 = 5 • c − 3 olduğuna göre, A'nın

k, m ve n pozitif tam sayılar olmak üzere 21 • k − 12 = 18 • m − 9 = 15 • z − 6 olduğuna göre, k + m

a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere x = 9 • a + 1 = 7 • b + 5 = 2 • c + 1 olduğuna göre, üç

A ve B aralarında asal sayılar olmak üzere EKOK(A,

Haftada 6 tane birer saatlik matematik (Mat) ve 5 tane birer saatlik geometri (Geo) dersi veren

ÖRNEK 8 x + y + z ≠ 0 olmak üzere, y/(x + z) = x/(y + z) = z/(x + y) olduğuna göre, (x · y)/z² oranı

Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir. N = {0, 1, 2, 3, 4, ... } olmak üzere a ve b doğal sayıdır. a

Gerçek sayılarda tanımlı f doğrusal fonksiyonu verilmiştir. • f(1) = 5 • f(3) = 9 olduğuna göre

Aşağıda verilen 25 birim kareden oluşan karede bazı kareler boyanarak ayrık bölgeler oluşturuluyor