Sin Değerleri ve Sin Cos Tablosu: Trigonometrik İşaretler Konu Anlatımı

Trigonometri, sınav matematiğinin en çok soru üreten konularından biridir. TYT ve AYT'de sana en çok lazım olacak iki şey var: özel açılardaki sin, cos, tan, cot değerlerini hatasız bilmek ve bu değerlerin hangi bölgede pozitif, hangi bölgede negatif olduğunu ayırt edebilmek. Bu yazıda hem sin değerleri tablosunu hem de trigonometri bölge işaretlerini tek yerde, anlaşılır biçimde bulacaksın.

Sin Cos Tablosu Hangi Sınıfta, Hangi Ünitede?

Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli'nde bu konu iki sınıfta karşına çıkar. 10. sınıfta "Geometrik Şekiller" temasında, okulun ilk haftasında (14–18 Eylül) dik üçgende trigonometrik oranları ve özdeşlikleri öğrenirsin. 11. sınıfta "Nicelikler ve Değişimler (1)" temasında, 15. haftada (28 Aralık – 1 Ocak) aynı değerleri sin, cos, tan ve cot fonksiyonlarının grafikleriyle kullanırsın. Konunun karşıladığı kazanımlar şunlar:

• 10.1.1: Dik üçgende trigonometrik oranlara (sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant) ve trigonometrik özdeşliklere ilişkin çıkarım yapabilme
• MAT.11.3.1: sin x, cos x, tan x ve cot x referans fonksiyonlarının ve g(x) = k · f(mx ± r) ± s biçimindeki fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin matematiksel muhakeme yapabilme

Sinüs, Kosinüs, Tanjant ve Kotanjant Nedir?

Sinüs (sin), kosinüs (cos), tanjant (tan) ve kotanjant (cot), bir açıyla ilişkilendirilen dört temel trigonometrik fonksiyondur. Dik üçgende açının karşısındaki ve komşusundaki kenarların hipotenüse ya da birbirine oranı olarak tanımlanırlar. Birim çemberde ise bu fonksiyonlar, çember üzerindeki bir noktanın koordinatları ve bu koordinatların oranıyla ifade edilir.

Sin ve cos değerleri daima –1 ile 1 arasındadır. Tan ve cot ise belirli açılarda tanımsız olabilir. Konunun temeli bu dört fonksiyonun özel açılardaki değerlerini ve işaret davranışını iyi bilmekten geçer.

Sin Değerleri Nelerdir?

Sin değerleri, yani sinüs değerleri, bir açının birim çember üzerindeki karşılığının y koordinatına eşittir. Sınavlarda en çok karşına çıkacak açılar 0°, 30°, 45°, 60° ve 90°'dir. Bu açılara özel açılar denir ve sinüs değerleri ezberlenmesi kolay sayılarla ifade edilir.

0°, 30°, 45°, 60° ve 90° için Sinüs Değerleri

Gördüğün gibi sinüs değerleri 0'dan 1'e doğru artar. Açı büyüdükçe sin değeri de büyür; 0°'de sıfırdan başlar, 90°'de maksimum değeri olan 1'e ulaşır.

Sinüs Değerleri Nasıl Ezberlenir?

En hızlı ezber yöntemi "kök hilesi" diye bilinir. Sırayla 0, 1, 2, 3, 4 sayılarının kareköklerini al ve her birini 2'ye böl:

• sin 0° = √0 / 2 = 0
• sin 30° = √1 / 2 = 1/2
• sin 45° = √2 / 2
• sin 60° = √3 / 2
• sin 90° = √4 / 2 = 1

Bu yöntemle sinüs değerlerini birkaç saniyede aklına getirebilirsin. Kosinüs için ise aynı sırayı ters çevirmen yeterli.

Sin Cos Tablosu

Sin cos tablosu, özel açıların sinüs ve kosinüs değerlerini yan yana görmeni sağlar. Soru çözerken en çok bu tabloyu kullanacaksın.

Sin ve Cos Özel Açı Değerleri

Dikkat edersen sinüs ve kosinüs birbirinin simetriğidir: sin 30° = cos 60°, sin 60° = cos 30°. Bu kuralı bilirsen ezber yükün yarıya iner.

Sin Cos Tan Cot Değerleri

Tanjant ve kotanjant, sin ve cos üzerinden türetilir: tan x = sin x / cos x ve cot x = cos x / sin x. Bu mantıkla genişletilmiş sin cos tan cot tablosu şu şekildedir:

Sinüs Kosinüs Tanjant Kotanjant Değerleri

Dört temel trigonometrik fonksiyonun özel açılardaki değerlerini birlikte bilmek sana büyük avantaj sağlar; çünkü soruların çoğu bu değerleri aynı anda kullanmanı ister.

Tanjant Değerleri

Tanjant, sin/cos oranı olduğu için:

• tan 0° = 0 / 1 = 0
• tan 30° = (1/2) / (√3/2) = √3/3
• tan 45° = (√2/2) / (√2/2) = 1
• tan 60° = (√3/2) / (1/2) = √3
• tan 90° = 1 / 0 = Tanımsız

Kotanjant Değerleri

Kotanjant, tanjantın tersidir (cot x = 1 / tan x):

• cot 0° = Tanımsız
• cot 30° = √3
• cot 45° = 1
• cot 60° = √3/3
• cot 90° = 0

Tanımsız Olan Değerler

Paydası sıfır olan oranlar tanımsızdır. Bu yüzden tan 90° ve cot 0° tanımsızdır. Sınavda bu değerleri soran tuzak sorular sık çıkar; cevaplarken "tanımsız" yazmayı unutma.

Sinüs Nasıl Bulunur?

Sinüs, iki farklı yaklaşımla bulunur. Dik üçgende karşı/hipotenüs oranıyla; özel açılarda doğrudan tablodan okunur. Lise düzeyinde her ikisini de bilmen yeterli.

Dik Üçgende Sinüs

Bir dik üçgende sinüs, açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranıdır:

Formül: sin(α) = karşı / hipotenüs

Örneğin hipotenüsü 10, açının karşısındaki kenarı 5 olan bir üçgende sin α = 5/10 = 1/2 olur. Bu da açının 30° olduğunu söyler.

Özel Açı İçin Sinüs Bulma

Özel açılarda sinüs değerini doğrudan tablodan okursun. sin 45° değeri hangi yoldan türetilirse türetilsin sonucu √2/2'dir. Özel açılarla çalışırken tablo kullanmak en hızlı yoldur.

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar Nelerdir?

Bir dik üçgende bir dar açı seçtiğinde kenarların adı o açıya göre belli olur. Açının tam karşısındaki kenar karşı dik kenar, açıya bitişik olan dik kenar komşu dik kenardır. 90° açının karşısındaki en uzun kenar ise hipotenüstür. Dört oran bu üç kenardan kurulur.

Mantık: Aynı dar açıya sahip bütün dik üçgenler benzerdir. Üçgen büyüse de kenarlar aynı oranda büyür, bu yüzden oranlar değişmez. Sinüsün üçgenin boyuna değil, yalnız açıya bağlı olması buradan gelir.

Günlük hayattan: Bir rampanın dikliği aslında tanjanttır. 1 metre yükselip 12 metre ilerleyen rampada tan α = 1/12 olur. Aynı yüksekliği daha kısa yolda çıkarsan tanjant, yani diklik artar.

Tümler Açılarda Sin ve Cos İlişkisi

Dik üçgende iki dar açının toplamı 90°'dir. Bir açının karşı kenarı, öbür açının komşu kenarıdır. Bu yüzden sin α = cos(90° − α) ve tan α = cot(90° − α) olur. Tabloda gördüğün sin 30° = cos 60° eşitliğinin nedeni budur.

Trigonometrik Özdeşlikler Nelerdir?

Özdeşlik, açı ne olursa olsun doğru kalan eşitliktir. 10. sınıfta şu dört özdeşliği dik üçgenden çıkarırsın:

• sin²α + cos²α = 1
• tan α = sin α / cos α
• cot α = cos α / sin α
• tan α · cot α = 1

Mantık: Karşı kenar a, komşu kenar b, hipotenüs c olsun. Pisagor teoreminden a² + b² = c² yazılır. İki tarafı c²'ye bölersen (a/c)² + (b/c)² = 1 kalır. a/c sinüs, b/c kosinüs olduğu için sin²α + cos²α = 1 elde edilir.

Dik Üçgen ve Özdeşlik Örnekleri (10. Sınıf Düzeyi)

Soru 1: Bir dik üçgenin dik kenarları 5 ve 12 birimdir. 5 birimlik kenarın karşısındaki açı α ise sin α, cos α, tan α ve cot α kaçtır?

Çözüm: Önce hipotenüsü bul: 5² + 12² = 25 + 144 = 169, hipotenüs √169 = 13 olur. sin α = 5/13, cos α = 12/13, tan α = 5/12 ve cot α = 12/5 bulunur. Kontrol: 25/169 + 144/169 = 1, özdeşlik sağlanıyor.

Soru 2: α bir dar açı ve cos α = 3/5 ise tan α kaçtır?

Çözüm: sin²α = 1 − cos²α = 1 − 9/25 = 16/25 olur. α dar açı olduğu için sin α pozitiftir, sin α = 4/5. O hâlde tan α = (4/5) / (3/5) = 4/3 bulunur.

Soru 3: (sin x + cos x)² + (sin x − cos x)² ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm: İki kareyi aç: sin²x + 2sin x cos x + cos²x ve sin²x − 2sin x cos x + cos²x. Ortadaki terimler birbirini götürür. Geriye 2(sin²x + cos²x) = 2 · 1 = 2 kalır.

Soru 4: sin 25° / cos 65° kaçtır?

Çözüm: 25° + 65° = 90° olduğu için bu açılar tümlerdir. sin 25° = cos 65° olur, bölüm 1 çıkar.

Bu oranları pekiştirmek için 10. sınıf matematik soru çözme sayfasındaki sorularla pratik yapabilirsin.

Trigonometrik İşaretler Nelerdir?

Trigonometrik işaretler, sin, cos, tan ve cot fonksiyonlarının farklı açı aralıklarında pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu gösterir. Bu işaretler açının koordinat düzleminde hangi bölgeye düştüğüne göre değişir. Yani aynı fonksiyon, bir bölgede pozitif iken başka bir bölgede negatif olabilir.

Trigonometri Bölge İşaretleri

Koordinat düzlemi dört bölgeye ayrılır: 1. bölge (0°–90°), 2. bölge (90°–180°), 3. bölge (180°–270°), 4. bölge (270°–360°). Her bölgede trigonometrik fonksiyonların işaretleri farklıdır.

1. Bölgede İşaretler

1. bölgede sin, cos, tan ve cot fonksiyonlarının tamamı pozitiftir. Açı 1. bölgedeyse ezberini bozmadan pozitif yazabilirsin.

2. Bölgede İşaretler

2. bölgede yalnızca sinüs pozitiftir. Kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir.

3. Bölgede İşaretler

3. bölgede tanjant ve kotanjant pozitiftir. Sinüs ve kosinüs negatiftir. Hem x hem y koordinatı negatif olduğundan oranları pozitife döner.

4. Bölgede İşaretler

4. bölgede yalnızca kosinüs pozitiftir. Sinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir.

Trigonometri İşaret Tablosu

Yukarıdaki bilgileri tek bir tabloda topladığımızda şöyle bir görünüm çıkar:

Ezber kısayolu: "Hepsi – Sin – Tan – Cos". Yani 1. bölgede hepsi pozitif, 2. bölgede sinüs, 3. bölgede tanjant ve kotanjant, 4. bölgede kosinüs pozitiftir.

Sin, Cos, Tan ve Cot Değerleri Bölgelerde Nasıl Değişir?

Soru sana 150° gibi özel açı dışı bir değer verdiğinde üç adımda çözüme ulaşırsın.

Önce Referans Açıyı Bulma

Verilen açının hangi özel açıya karşılık geldiğini bul. Örneğin 150° = 180° – 30° olduğundan referans açı 30°'dir.

Sonra Bölgeyi Belirleme

150°, 90° ile 180° arasında olduğundan 2. bölgededir.

Son Olarak İşareti Verme

2. bölgede sinüs pozitif, kosinüs negatiftir. O halde:

• sin 150° = +sin 30° = 1/2
• cos 150° = –cos 30° = –√3/2

Bu üç adım, sınavda her türlü trigonometri sorusunu çözmeni sağlar.

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Grafikleri Nasıl Yorumlanır?

11. sınıfta açıyı bir sayı gibi düşünürsün ve sin x, cos x, tan x, cot x birer fonksiyon olur. Burada açılar genelde radyanla verilir: π radyan 180°'ye eşittir. Yani π/6 = 30°, π/4 = 45°, π/3 = 60° ve π/2 = 90°'dir. Yukarıdaki tablolar radyanla da aynen geçerlidir.

Sin, Cos, Tan ve Cot Fonksiyonlarının Özellikleri

Tablodaki k bir tam sayıdır (k ∈ ℤ).

Mantık: Birim çemberde tam tur 2π radyandır. Tam tur atınca nokta aynı yere döner, bu yüzden sin ve cos her 2π'de kendini tekrar eder. Tanjant ise çemberin karşılıklı iki noktasında aynı değeri alır; ona yarım tur, yani π yeter.

Grafiklerde Artma, Azalma ve Simetri

• sin x grafiği [0, π/2] aralığında artar, [π/2, 3π/2] aralığında azalır, [3π/2, 2π] aralığında yeniden artar. En büyük değeri 1, en küçük değeri −1'dir.
• cos x grafiği [0, π] aralığında 1'den −1'e azalır, [π, 2π] aralığında yeniden 1'e çıkar.
• tan x her (−π/2 + kπ, π/2 + kπ) aralığında sürekli artar. x = π/2 + kπ doğruları asimptottur; grafik bu doğrulara yaklaşır ama değmez.
• cot x her (kπ, π + kπ) aralığında sürekli azalır. Asimptotları x = kπ doğrularıdır.

Kural: Tek fonksiyonun grafiği orijine göre, çift fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir. Bu yüzden sin(−x) = −sin x ve cos(−x) = cos x olur. Örneğin sin(−π/6) = −1/2, cos(−π/3) = 1/2'dir.

Hatırlatma: Bölge işaretleri grafikte de görünür. sin x grafiği (π, 2π) aralığında x ekseninin altındadır. Bu, 3. ve 4. bölgede sinüsün negatif olmasının grafikteki karşılığıdır.

g(x) = k · f(mx ± r) ± s Biçimindeki Fonksiyonlar

Referans fonksiyonu tanıdıktan sonra onu esnetip kaydırabilirsin. Her harf grafikte ayrı bir değişiklik yapar:

• k: Grafiği dikeyde esnetir. sin ve cos için en büyük sapma |k| olur. k negatifse grafik x eksenine göre ters döner.
• m: Periyodu değiştirir. sin ve cos için periyot 2π/|m|, tan ve cot için π/|m| olur.
• r: Grafiği yatayda kaydırır. m ve r pozitifken mx + r = m(x + r/m) olduğundan grafik r/m birim sola kayar; mx − r için sağa kayar.
• s: Grafiği dikeyde +s için yukarı, −s için aşağı taşır.

Kural: g(x) = k · sin(mx ± r) + s ve g(x) = k · cos(mx ± r) + s için görüntü kümesi [s − |k|, s + |k|] aralığıdır. tan ve cot'tan türetilen fonksiyonlarda görüntü kümesi yine ℝ olur.

Günlük hayattan: Hoparlörden çıkan bir ses dalgası sinüs grafiğine benzer. Sesi açmak k'yı büyütmek gibidir. Sesi inceltmek ise m'yi büyütüp periyodu kısaltmaktır.

Trigonometrik Fonksiyon Örnekleri (11. Sınıf Düzeyi)

Soru 1: g(x) = 3 sin(2x) − 1 fonksiyonunun periyodunu ve görüntü kümesini bul.

Çözüm: m = 2 olduğu için periyot 2π/2 = π olur. k = 3 ve s = −1 olduğundan görüntü kümesi [−1 − 3, −1 + 3] = [−4, 2] çıkar. En büyük değer 2, en küçük değer −4'tür.

Soru 2: g(x) = −2 cos(x/3 + π/6) + 5 fonksiyonunun periyodu, en büyük değeri ve yatay kayması nedir?

Çözüm: m = 1/3 olduğu için periyot 2π / (1/3) = 6π olur. Görüntü kümesi [5 − 2, 5 + 2] = [3, 7] aralığıdır. k negatif olduğu için en büyük değer cos(…) = −1 iken gelir: −2 · (−1) + 5 = 7. x/3 + π/6 = (1/3)(x + π/2) yazılır, grafik π/2 birim sola kayar.

Soru 3: h(x) = tan(3x − π/4) fonksiyonunun periyodu nedir ve hangi x değerlerinde tanımsızdır?

Çözüm: Tanjantta periyot π/|m| olduğundan π/3 bulunur. Tanjant, içi π/2 + kπ olduğunda tanımsızdır. 3x − π/4 = π/2 + kπ ise 3x = 3π/4 + kπ olur. Buradan x = π/4 + kπ/3 (k ∈ ℤ) bulunur.

Soru 4: f(x) = 4 sin x + 1 ise f(7π/6) kaçtır?

Çözüm: 7π/6 = 210°'dir. 210° = 180° + 30° olduğu için açı 3. bölgededir ve sinüs negatiftir: sin 210° = −sin 30° = −1/2. O hâlde f(7π/6) = 4 · (−1/2) + 1 = −2 + 1 = −1 olur.

Fonksiyon sorularını pekiştirmek için 11. sınıf matematik soru çözme sayfasına da göz atabilirsin.

Sık Karıştırılan Noktalar

Sin ve cos değerleri aynı mıdır?

Hayır. Aynı açı için sin ve cos farklıdır. Ama sin 30° = cos 60° ve sin 60° = cos 30° gibi simetrik eşitlikler vardır.

Tanjant neden bazı açılarda tanımsızdır?

tan x = sin x / cos x olduğu için cos x = 0 olan açılarda (90°, 270°...) tanjant tanımsız olur.

1. bölgede tüm trigonometrik fonksiyonlar pozitif midir?

Evet. 1. bölgede dört temel fonksiyon da pozitiftir.

2. bölgede sadece sinüs mü pozitiftir?

Evet. Lise düzeyinde 2. bölgede sadece sinüs pozitif kabul edilir.

İşaret ile değer aynı şey midir?

Hayır. İşaret pozitif ya da negatif bilgisini, değer ise sayısal büyüklüğü ifade eder. cos 150° = –√3/2 örneğinde √3/2 bir değer, "–" ise işarettir.

Örneklerle Trigonometrik Değer ve İşaret Bulma

Özel Açıdan Değer Okuma Sorusu

Soru: sin 60° + cos 30° kaçtır?

Çözüm: sin 60° = √3/2 ve cos 30° = √3/2. Toplam = √3/2 + √3/2 = √3.

Bölgede İşaret Belirleme Sorusu

Soru: 200° hangi bölgededir ve bu bölgede tanjant hangi işarettedir?

Çözüm: 200°, 180° ile 270° arasındadır, yani 3. bölgededir. 3. bölgede tanjant pozitiftir.

Açı Verildiğinde Değerin İşaretini Bulma

Soru: sin 210° değerini bul.

Çözüm: 210° = 180° + 30°, yani 3. bölgededir. 3. bölgede sinüs negatiftir. Referans açı 30° olduğu için sin 210° = –sin 30° = –1/2.

Sin Cos Tablosu ve Trigonometrik İşaretler Hızlı Özet

• Özel açılarda sinüs değerleri: sin 0° = 0, sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1. Kosinüs için aynı sırayı ters çevir.
• Sin cos tablosu, özel açıların (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) sinüs ve kosinüs değerlerini yan yana gösteren tablodur. Tanjant = sin/cos, kotanjant = cos/sin formülüyle diğer iki değeri türetirsin; tan 90° ve cot 0° tanımsızdır.
• Dik üçgende sin = karşı/hipotenüs, cos = komşu/hipotenüs, tan = karşı/komşu, cot = komşu/karşı.
• Temel özdeşlikler: sin²x + cos²x = 1 ve tan x · cot x = 1; tümler açılarda sin α = cos(90° − α).
• Trigonometrik işaret; sin, cos, tan ve cot fonksiyonlarının farklı bölgelerde pozitif ya da negatif olma durumudur. "Hepsi – Sin – Tan – Cos" kısayoluyla bölgelerde hangi fonksiyonların pozitif olduğu kolayca akılda kalır. Sırayı unutma: önce referans açı, sonra bölge, sonra işaret.
• sin ve cos'un periyodu 2π, görüntü kümesi [−1, 1]; tan ve cot'un periyodu π, görüntü kümesi ℝ.
• g(x) = k · sin(mx ± r) + s için periyot 2π/|m|, görüntü kümesi [s − |k|, s + |k|].

Mini Test

Soru 1: sin 45° + cos 45° kaçtır? Cevap: √2/2 + √2/2 = √2.

Soru 2: tan 90° kaçtır? Cevap:Tanımsız. Çünkü cos 90° = 0, paydada sıfır olamaz.

Soru 3: 2. bölgede hangi trigonometrik fonksiyon pozitiftir? Cevap:Sinüs. 2. bölgede y koordinatı pozitif, x koordinatı negatiftir.

Soru 4: cos 120° kaçtır? Cevap: 120°, 2. bölgededir ve cos negatiftir. Referans açı 60° olduğundan cos 120° = –cos 60° = –1/2.

Soru 5: cot 45° kaçtır? Cevap:1. cos 45° ile sin 45° eşit olduğu için oranları 1 çıkar.

PDF DERS NOTU İNDİR