Açıortay Kuralları: İç Açıortay, Dış Açıortay ve Kenarortay Formülleri

Açıortay ve kenarortay — TYT ve AYT'de sıkça karıştırılan iki kavram. Pek çok öğrenci sınav anında "Hangisi orantılı bölüyordu?" diye düşünmek zorunda kalıyor. Bu sayfada üç temel konuyu bir arada ve örnekli şekilde ele alıyoruz: iç açıortay, dış açıortay ve kenarortay. ÖSYM bu konuları özellikle oran-orantı ve kenar hesaplama sorularında kullanıyor. Baştan sona okursan hem kavramsal hem işlemsel olarak sınava hazır olursun.

Bu konu hangi sınıfta işleniyor?

Açıortay ve kenarortay konusunu 10. sınıf matematikte görürsün. Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli programında Geometrik Şekiller ünitesinin içindedir. Okulda 3. haftada, yani 28 Eylül-2 Ekim arasında işlenir.

• 10.1.2 Üçgenin yardımcı elemanlarının özellikleri ile ilgili çıkarım yapabilme

Açıortay, kenarortay, yükseklik ve kenar orta dikme üçgenin yardımcı elemanlarıdır. Bu sayfada hepsinin özelliklerini görecek ve onlardan çıkarım yapacaksın. Bu kurallar TYT ve AYT geometri sorularında da karşına çıkar. Bol örnek çözmek istersen 10. sınıf matematik soru çözme sayfasına göz atabilirsin.

Açıortay Nedir?

Bir açıyı iki eşit parçaya bölen ışına açıortay denir. Üçgenlerde her köşe açısından bir iç açıortay çizilebilir; bunun yanı sıra dış açılar için de açıortay söz konusudur.

Temel nokta: Açıortay açıyı böler, kenarı ise orantılı böler — eşit değil, orantılı.

İç Açıortay

İç Açıortay Teoremi

ABC üçgeninde A köşesinden çıkan iç açıortay, BC kenarını D noktasında keser. Bu durumda şu teorem geçerlidir:

BD / DC = AB / AC
 

Yani açıortayın karşı kenar üzerinde belirlediği iki parçanın oranı, açıortayın çıktığı köşeye komşu iki kenarın oranına eşittir.

Hatırlatma: İç açıortay, açıyı iki eşit parçaya böler ve karşı kenarı BD/DC = AB/AC oranıyla böler. Dış açıortay da aynı oranı verir ancak D noktası üçgenin dışında kalır.

💡 Akılda kalması için: "İç açıortay, karşı kenarı daima orantılı böler. D noktası her zaman üçgenin içindedir."

Örnek: AB = 8 cm, AC = 12 cm olsun. BD/DC = 8/12 = 2/3 BC = 10 cm ise → BD = 4 cm, DC = 6 cm

İç Açıortay Kuralları

Dış Açıortay

Tanım

Bir üçgenin herhangi bir iç açısının bitişiğindeki dış açıyı iki eşit parçaya bölen ışına dış açıortay denir. Başka bir deyişle: iç açının uzantısıyla oluşan dış açının açıortayıdır.

Dış Açıortay Teoremi

ABC üçgeninde A köşesinin dış açıortayı, BC doğrusunu D noktasında keser. Bu durumda:

BD / DC = AB / AC (D noktası üçgenin dışındadır)

⚠️ NOT: Oran iç açıortayla birebir aynıdır — fakat D noktası bu sefer BC kenarının uzantısında, yani üçgenin dışında yer alır. Bu kritik farkı sınav anında unutmamak için formülü her zaman "D dışarıda" notu ile birlikte düşün.

Dış Açıortay Formülü

Dış açıortay teoremini sayısal bir soruda şöyle kullanırız:

Örnek Çözüm: AB = 10 cm, AC = 5 cm, BC = 9 cm olsun. BD/DC = 10/5 = 2 → BD = 2·DC D dışarıda olduğu için: BD − DC = BC 2DC − DC = 9 → DC = 9 cm, BD = 18 cm

Kural: BD/DC = AB/AC oranı kurulur, ardından D'nin dışarıda olduğu göz önünde bulundurularak BD − DC = BC (veya DC − BD = BC) ilişkisiyle hesap tamamlanır. İç açıortayda D noktası üçgenin içindeyken, dış açıortayda BC'nin uzantısında, yani dışındadır. Oran formülü her ikisinde de aynıdır.

Dış Açıortayların Kesim Noktası

Bir üçgenin iki dış açıortayı ile bir iç açıortayı aynı noktada kesişir. Bu noktaya dış merkez (excenter) denir.

• Her üçgenin 3 adet dış merkezi vardır: I₁, I₂, I₃
• Dış merkez, o köşeye karşılık gelen dış teğet çemberinin merkezidir
• Üçgenin iç teğet çemberi (incircle) ile karıştırılmamalıdır

💡 Sınav ipucu: Çoğu kaynakta dış merkez bilgisi yer almaz. "Dış açıortayların kesim noktası nerededir?" sorusu gelirse cevap: dış merkez (excenter).

Hatırlatma: İki dış açıortay ile bir iç açıortayın kesiştiği nokta dış merkez (excenter) olarak adlandırılır. Bir üçgenin 3 farklı dış merkezi vardır.

Kenarortay Nedir?

Kenarortay, bir üçgenin herhangi bir kenarının orta noktasını o kenara karşı düşen köşeyle birleştiren doğru parçasıdır. Yani kenarortay açıyı değil, kenarı eşit iki parçaya böler.

🔁 Hatırlatma: Kenarortay açıyı eşit bölmez — ama kenarı eşit böler. Açıortay tam tersidir.

Kenarortayın Özelliği: Ağırlık Merkezi

Bir üçgenin üç kenarortayı tek bir noktada kesişir. Bu noktaya ağırlık merkezi (G) denir.

• Ağırlık merkezi her kenarortayı 2:1 oranında böler
• AG / GD = 2 / 1
• Yani köşeden ağırlık merkezine olan mesafe, ağırlık merkezinden kenar orta noktasına olan mesafenin iki katıdır

Kenarortay Formülü

a kenarı karşısındaki kenarortayın uzunluğu şu formülle bulunur:

mₐ = √(2b² + 2c² − a²) / 2

Burada a, b, c üçgenin kenarlarını; mₐ ise a kenarına karşı düşen kenarortayı temsil eder.

Kural: Üçgenin üç kenarı bilindiğinde, herhangi bir kenarortayın uzunluğunu bulmak için mₐ = √(2b² + 2c² − a²) / 2 formülü kullanılır.

Örnek: a = 6 cm, b = 5 cm, c = 7 cm mₐ = √(2·25 + 2·49 − 36) / 2 mₐ = √(50 + 98 − 36) / 2 mₐ = √112 / 2 = 2√7 cm

Açıortay – Kenarortay Arasındaki Fark

Sınavda bu iki kavram kasıtlı olarak karıştırılmaya çalışılır:

TYT/AYT'de Açıortay Soruları – En Çok Gelen Tipler

ÖSYM açıortay ve kenarortay sorularını genellikle şu üç tipte sorar:

• BD/DC oranını bulma (İç açıortay teoremi, doğrudan uygulama)
• Dış açıortaydan D noktasının konumunu belirleme (D'nin dışarıda olduğu sorular)
• Kenarortay formülünü kullanarak bilinmeyen kenar veya uzunluk bulma

Örnek Soru Çözümleri

Soru 1 – Kolay (BD/DC Oranı)

ABC üçgeninde A açısının açıortayı BC'yi D'de kesiyor. AB = 6 cm, AC = 9 cm ise BD/DC = ?

Çözüm: BD/DC = AB/AC = 6/9 = 2/3

Soru 2 – Orta (Dış Açıortay)

ABC üçgeninde A açısının dış açıortayı BC doğrusunu D'de kesiyor. AB = 8 cm, AC = 4 cm, BC = 6 cm ise BD = ?

Çözüm: BD/DC = 8/4 = 2 → BD = 2·DC D dışarıda → BD − DC = 6 2DC − DC = 6 → DC = 6 cm, BD = 12 cm

Soru 3 – AYT Zorluk (Kenarortay Formülü)

ABC üçgeninde AB = 5, AC = 7, BC = 6 cm. A köşesinden çıkan kenarortayın uzunluğu nedir?

Çözüm: a = 6, b = 7, c = 5 mₐ = √(2·49 + 2·25 − 36) / 2 = √112 / 2 = 2√7 cm
PDF DERS NOYU İNDİR 

Yükseklik ve Kenar Orta Dikme Nedir?

Yükseklik, bir köşeden karşı kenara (ya da uzantısına) dik inen doğru parçasıdır. Kenar orta dikme ise bir kenarın orta noktasından o kenara dik çizilen doğrudur. Kenar orta dikme bir köşeden geçmek zorunda değildir.

Mantık: Kenar orta dikme üzerindeki her nokta, kenarın iki ucuna eşit uzaklıktadır. Çünkü bu noktayı uçlara birleştirince iki eş dik üçgen oluşur.

Günlük hayattan: İki arkadaşın evine eşit yürüme mesafesinde buluşmak istiyorsun. Evleri birleştiren doğrunun kenar orta dikmesi üzerindeki her nokta buna uyar.

Yardımcı Elemanların Kesim Noktaları

• Üç iç açıortay tek noktada kesişir. Bu nokta iç teğet çemberin merkezidir.
• Üç kenarortay ağırlık merkezinde (G) kesişir.
• Üç kenar orta dikme tek noktada kesişir. Bu nokta çevrel çemberin merkezidir.
• Üç yükseklik (ya da uzantıları) diklik merkezinde kesişir.

10. Sınıf Düzeyi Örnek: İkizkenar Üçgende Çıkarım

ABC üçgeninde AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm olsun. A köşesinden BC'ye inen yükseklik BC'yi D noktasında kessin. AD ve AG uzunluklarını birlikte bulalım.

1. adım: İkizkenar üçgende tepe köşesinden inen yükseklik, aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır. Bu yüzden D, BC'nin orta noktasıdır ve BD = 6 cm olur.

2. adım: ABD dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullan: AD² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64. Buradan AD = 8 cm bulunur.

3. adım: AD bir kenarortay olduğu için ağırlık merkezi G, AD'yi 2:1 oranında böler. AG = 8 · 2/3 = 16/3 cm, GD = 8/3 cm olur.

Kontrol: Kenarortay formülüyle mₐ = √(2·100 + 2·100 − 144) / 2 = √256 / 2 = 8 cm. İki yol aynı sonucu verir.

Açıortay ve Kenarortay Hızlı Özet

• Açıortay bir açıyı iki eşit parçaya böler; kenarı ise eşit değil, orantılı böler.
• İç açıortayda D noktası her zaman üçgenin içindedir: BD/DC = AB/AC.
• Dış açıortayda oran formülü aynıdır, ama D noktası üçgenin dışında, BC'nin uzantısındadır.
• İki dış açıortay ile bir iç açıortay dış merkezde (excenter) kesişir.
• Kenarortay bir kenarı eşit iki parçaya böler ve açıyı bölmez.
• Üç kenarortay ağırlık merkezinde (G) kesişir ve bu noktayı her kenarortayda 2:1 oranında böler.
• Kenarortay uzunluğu mₐ = √(2b² + 2c² − a²) / 2 formülüyle bulunur.