Matematik dersinde "bölme" ile "bölünebilme" aynı kavram gibi görünse de aslında birbirinden farklı iki kavramdır. Farkı anlamak, test çözerken hem zaman kazandırır hem de hata yapmayı engeller.
Bölme, iki sayı arasında gerçekleştirilen aritmetik bir işlemdir; bölüm ve kalan elde edilir. Bölünebilme ise bir sayının başka bir sayıya kalansız olarak bölünüp bölünemeyeceğini sorgulamaktır.
TEMEL FARK: Bölme bir işlemdir, bölünebilme ise bir özelliktir. Bölünebilme kuralları sayesinde işlem yapmadan, yalnızca rakamları inceleyerek sonucu görebilirsin. |
Bu konu hangi sınıfta işleniyor?
Bölünebilme kurallarıyla ilk kez 6. sınıfta, Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli'nin Sayılar ve Nicelikler (1) ünitesinde tanışırsın. Konu okulun 2. haftasında, 21-25 Eylül arasında işlenir. Burada 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile bölünebilmeyi öğrenir, kuralların nereden geldiğini düşünürsün. 10. sınıfta Sayılar ünitesinde, 13. haftada (14-18 Aralık) konu geri döner. Bu kez amaç, bölme yapmadan bir sayının kalanını bulmaktır.
- MAT.6.1.2 Bir doğal sayının 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile tam bölünebilme kriterlerine ilişkin çıkarım yapabilme
- 10.3.3 Bir doğal sayının belirli doğal sayılara bölümünden kalanlarına dair muhakeme yapabilme
Kalansız Bölünebilme Kuralları
Bir sayı, başka bir sayıya bölündüğünde kalan sıfır oluyorsa, o sayı bu sayıya kalansız bölünebilir denir. Matematikte bu durum "tam bölünme" veya "bölünebilme" şeklinde de ifade edilir.
| DURUM | ÖRNEK | KALAN | KALANSIZ MI? |
Kalansız bölünme | 12 ÷ 4 | 0 | EVET |
Kalanlı bölünme | 13 ÷ 4 | 1 | HAYIR |
Kalansız bölünme | 35 ÷ 7 | 0 | EVET |
Kalanlı bölünme | 37 ÷ 7 | 2 | HAYIR |
4'e Bölünebilme Kuralı
Bir sayının 4'e kalansız bölünüp bölünmediğini anlamak için yüzler veya binler basamağına bakman gerekmez. Tek yapman gereken son iki basamağa odaklanmak.
KURAL: Bir sayının son iki basamağı 4'e kalansız bölünüyorsa, o sayı da 4'e kalansız bölünür. |
| ÖRNEK 1 3.724 sayısı 4'e bölünür mü? Son iki basamak: 24 → 24 ÷ 4 = 6, kalan yok SONUÇ: 3.724, 4'e kalansız bölünür. |
| ÖRNEK 2 5.318 sayısı 4'e bölünür mü? Son iki basamak: 18 → 18 ÷ 4 = 4, kalan 2 var SONUÇ: 5.318, 4'e bölünmez. |
8 ile Bölünebilme Kuralı
8 ile bölünebilme kuralı, 4 ile bölünebilme kuralının bir adım ileri taşınmış hâlidir. Bu sefer son iki basamak yerine son üç basamağa bakıyoruz.
KURAL: Bir sayının son üç basamağı 8'e kalansız bölünüyorsa, o sayı da 8'e kalansız bölünür. |
| ÖRNEK 1 12.312 sayısı 8'e bölünür mü? Son üç basamak: 312 → 312 ÷ 8 = 39, kalan yok SONUÇ: 12.312, 8'e kalansız bölünür. |
| ÖRNEK 2 7.450 sayısı 8'e bölünür mü? Son üç basamak: 450 → 450 ÷ 8 = 56,25 → Kalan var SONUÇ: 7.450, 8'e bölünmez. |
10 ile Bölünebilme Kuralı
10 ile bölünebilme, tüm kurallar arasında en basit olanıdır. Herhangi bir hesap gerekmez.
KURAL: Bir sayının son basamağı (birler basamağı) 0 ise, o sayı 10'a kalansız bölünür. |
| ÖRNEKLER 240 → Son basamak 0 → Bölünür 1.350 → Son basamak 0 → Bölünür 783 → Son basamak 3 → Bölünmez |
7 ile Bölünebilme Kuralı
7 ile bölünebilme kuralı, öğrencilerin en çok zorlandığı kuraldır. Ne son basamak ne de birkaç basamak toplamı yeterlidir; bunun yerine adım adım ilerleyen bir yöntem uygulanır.
KURAL: Sayının birler basamağını al, 2 ile çarp. Çıkan sonucu kalan basamaklardan çıkar. Sonuç 0 veya 7'nin katı ise sayı 7'ye bölünür. |
Adım Adım Yöntem
1. Sayının birler basamağını belirle.
2. Bu rakamı 2 ile çarp.
3. Elde ettiğin sayıyı, birler basamağı çıkarılmış kısımdan çıkar.
4. Sonuç 0 ya da 7'nin katıysa sayı 7'ye bölünür. Sonuç hâlâ büyükse aynı adımı tekrarla.
| ÖRNEK 1 — 343 Birler basamağı: 3 → 3 × 2 = 6 Kalan kısım: 34 → 34 − 6 = 28 28 = 7 × 4 → SONUÇ: 343, 7'ye kalansız bölünür. |
| ÖRNEK 2 — 1.078 Birler basamağı: 8 → 8 × 2 = 16 Kalan kısım: 107 → 107 − 16 = 91 Tekrar uygula: 1 × 2 = 2 → 9 − 2 = 7 SONUÇ: 1.078, 7'ye kalansız bölünür. |
2, 3, 5, 6 ve 9 ile Bölünebilme Kuralları Nelerdir?
4, 7, 8 ve 10 dışında sık kullandığın beş kural daha var: 2, 3, 5, 6 ve 9. Bunları ezberlemek yerine nereden geldiğini anlarsan kolay kolay unutmazsın. Hepsi aynı fikre dayanır: 10, 100 ve 1000 gibi basamak değerlerinin bu sayılarla ilişkisi.
2, 5 ve 10 ile Bölünebilmede Neden Son Basamağa Bakılır?
Kural: Son basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 olan sayı 2'ye bölünür. Son basamağı 0 veya 5 olan sayı 5'e bölünür.
Mantık: 10 sayısı hem 2'ye hem 5'e tam bölünür. Bu yüzden onlar, yüzler ve binler basamağındaki değerler de 2'ye ve 5'e bölünür. Geriye yalnız birler basamağı kalır. 2.346'yı düşün: 2.340 kısmı zaten 2'ye bölünür, 6 da 2'ye bölündüğü için sayının tamamı bölünür.
3 ve 9 ile Bölünebilmede Neden Rakamlar Toplanır?
Kural: Rakamlarının toplamı 3'e bölünen sayı 3'e bölünür. Rakamlarının toplamı 9'a bölünen sayı 9'a bölünür.
Mantık: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 ve 1000 = 999 + 1 diye yazılabilir. 9, 99 ve 999 hem 3'e hem 9'a bölünür. Bu yüzden her basamaktan geriye yalnız rakamın kendisi kalır. Örneğin 4.815 = 4 × 999 + 8 × 99 + 1 × 9 + (4 + 8 + 1 + 5) olur.
6 ile Bölünebilme Kuralı Nedir?
Kural: Bir sayı hem 2'ye hem 3'e bölünüyorsa 6'ya da bölünür. İki koşuldan biri eksikse 6'ya bölünmez.
Dikkat: 6 = 2 × 3 olduğu için iki kuralı birlikte kontrol edersin. Yalnız çift olmak ya da yalnız rakam toplamının 3'ün katı olması yetmez. 1.234 çifttir ama rakamlarının toplamı 10'dur. Bu yüzden 6'ya bölünmez.
6. Sınıf Düzeyi Çözümlü Örnekler
Örnek 1: Sınıfta 2.346 çıkartma var ve bunları 6 kişiye eşit paylaştırmak istiyorsun. 2.346 sayısı 2, 3, 6 ve 9'dan hangilerine tam bölünür?
- Son basamak 6, yani çift sayı. Sayı 2'ye bölünür.
- Rakamlar toplamı 2 + 3 + 4 + 6 = 15. 15, 3'e bölünür ama 9'a bölünmez.
- Hem 2'ye hem 3'e bölündüğü için 6'ya da bölünür. Sağlama: 2.346 ÷ 6 = 391.
Sonuç: 2.346 sayısı 2, 3 ve 6'ya bölünür, 9'a bölünmez. Çıkartmaları paylaştırırsan herkese 391 çıkartma düşer ve hiç çıkartma artmaz.
Örnek 2: 4.815 sayısı 2, 3, 5, 6 ve 9'dan hangilerine tam bölünür?
- Son basamak 5. Sayı 5'e bölünür ama tek olduğu için 2'ye bölünmez.
- Rakamlar toplamı 4 + 8 + 1 + 5 = 18. 18 hem 3'e hem 9'a bölünür.
- 2'ye bölünmediği için 6'ya bölünmez. Sağlama: 4.815 ÷ 9 = 535.
Örnek 3: Üç basamaklı 52A sayısı 6 ile tam bölünüyor. A yerine hangi rakamlar gelebilir?
- 2'ye bölünmesi için A çift olmalı: 0, 2, 4, 6 veya 8.
- 3'e bölünmesi için 5 + 2 + A = 7 + A toplamı 3'ün katı olmalı. Bu da A = 2, 5 veya 8 demektir.
- İki listede ortak olan rakamlar 2 ve 8'dir. Sağlama: 522 ÷ 6 = 87 ve 528 ÷ 6 = 88.
Aşağıdaki tabloda üç sayıyı bütün kurallarla birlikte kontrol edebilirsin.
| Sayı | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 360 | Evet | Evet | Evet | Evet | Evet | Evet | Evet |
| 2.346 | Evet | Evet | Hayır | Hayır | Evet | Hayır | Hayır |
| 4.815 | Hayır | Evet | Hayır | Evet | Hayır | Evet | Hayır |
Bu kuralları pekiştirmek için 6. sınıf matematik soru çözme sayfasındaki sorularla pratik yapabilirsin.
Bölünebilme Kuralları — TYT Odaklı
TYT matematiğinde bölünebilme kuralları genellikle tek başına soru olarak gelmez; asal çarpanlara ayırma, EBOB-EKOK ve sayı sistemleri sorularının içinde alt beceri olarak kullanılır. Tüm kuralları refleks hâline getirmelisin.
- 2'ye bölünebilme: Son basamak çift sayı (0, 2, 4, 6, 8) ise.
- 3'e bölünebilme: Tüm basamakların toplamı 3'e bölünüyorsa.
- 4'e bölünebilme: Son iki basamak 4'e bölünüyorsa.
- 5'e bölünebilme: Son basamak 0 veya 5 ise.
- 7 ile bölünebilme: Birler × 2 formülü (en zor kural — mutlaka pratik yap).
- 8 ile bölünebilme: Son üç basamak 8'e bölünüyorsa.
- 9'a bölünebilme: Tüm basamakların toplamı 9'a bölünüyorsa.
- 10 ile bölünebilme: Son basamak 0 ise.
Bölme – Bölünebilme Karşılaştırması
Özetle: Bölme işlemini kullanmak yerine bölünebilme kuralını uygulamak, sınavda ciddi zaman kazandırır ve hesap hatalarını ortadan kaldırır.
| BÖLME | BÖLÜNEBİLME |
İşlem gerekir | İşlem gerekmez |
Zaman alır | Hızlı karar verir |
Bölüm + kalan verir | Evet / Hayır cevabı verir |
Her sayı için uygulanır | Kalansızlık şartı aranır |
Hesap makinesi gerekebilir | Kural ezberi yeterli |
Hızlı Özet Tablo
| SAYI | KURAL | ÖRNEK | SONUÇ |
2 | Son basamak çift (0,2,4,6,8) | 134 → son b. 4 | BÖLÜNÜR |
3 | Basamaklar toplamı 3'e bölünür | 123: 1+2+3=6 | BÖLÜNÜR |
4 | Son iki basamak 4'e bölünür | 724: 24÷4=6 | BÖLÜNÜR |
5 | Son basamak 0 ya da 5 | 375 → son b. 5 | BÖLÜNÜR |
7 | Birler×2 → kalandan çıkar | 343: 34−6=28 | BÖLÜNÜR |
8 | Son üç basamak 8'e bölünür | 312: 312÷8=39 | BÖLÜNÜR |
9 | Basamaklar toplamı 9'a bölünür | 189: 1+8+9=18 | BÖLÜNÜR |
10 | Son basamak 0 | 1350 → son b. 0 | BÖLÜNÜR |
Örneklerle Bölünebilme
4 ile Örnekler
| ALIŞTIRMA 516: Son iki basamak 16 → 16 ÷ 4 = 4 → 4'e bölünür 938: Son iki basamak 38 → 38 ÷ 4 = 9 kalan 2 → 4'e bölünmez |
7 ile Örnekler
| ALIŞTIRMA 196: 6×2=12 → 19−12=7 → 7'ye bölünür 204: 4×2=8 → 20−8=12 → 12, 7'nin katı değil → 7'ye bölünmez |
8 ile Örnekler
| ALIŞTIRMA 4.608: Son üç: 608 → 608÷8=76 → 8'e bölünür 3.126: Son üç: 126 → 126÷8=15 kalan 6 → 8'e bölünmez |
Bir Sayının Bölümünden Kalan Nasıl Bulunur?
Bölünebilme kuralları yalnız "bölünür mü?" sorusuna cevap vermez. Çoğu kural, bölme yapmadan kalanı da söyler. 10. sınıfta ve TYT'de sorular çoğu zaman bu kalan üzerine kurulur.
Mantık: Sayıyı iki parçaya ayır: tam bölünen parça ve geriye kalan parça. 7.358 = 7.300 + 58 diye yazılır. 7.300, 100'ün katı olduğu için 4'e tam bölünür. Öyleyse 7.358'in 4'e bölümünden kalan, 58'in kalanıyla aynıdır.
2, 5 ve 10 ile Bölümden Kalan
Kalanı son basamak belirler. Son basamağın 2'ye, 5'e ya da 10'a bölümünden kalan, sayının kalanıdır. 7.358'in son basamağı 8'dir. 8'in 2'ye bölümünden kalan 0, 5'e bölümünden kalan 3, 10'a bölümünden kalan 8'dir.
4 ve 8 ile Bölümden Kalan
4 için son iki basamağa, 8 için son üç basamağa bakarsın. 7.358'de son iki basamak 58'dir. 58 = 4 × 14 + 2 olduğu için 4'e bölümden kalan 2'dir. Son üç basamak 358'dir. 358 = 8 × 44 + 6 olduğu için 8'e bölümden kalan 6'dır.
3 ve 9 ile Bölümden Kalan
Rakamlar toplamının 3'e ya da 9'a bölümünden kalan, sayının kalanıdır. 7.358 için 7 + 3 + 5 + 8 = 23 bulunur. 23 = 9 × 2 + 5 olduğu için 9'a bölümden kalan 5'tir. 23 = 3 × 7 + 2 olduğu için 3'e bölümden kalan 2'dir.
| Bölen | 7.358'de baktığın kısım | Kalan |
|---|---|---|
| 2 | Son basamak: 8 | 0 |
| 3 | Rakamlar toplamı: 23 | 2 |
| 4 | Son iki basamak: 58 | 2 |
| 5 | Son basamak: 8 | 3 |
| 8 | Son üç basamak: 358 | 6 |
| 9 | Rakamlar toplamı: 23 | 5 |
| 10 | Son basamak: 8 | 8 |
7 ile Bölümden Kalan Neden Farklı?
Dikkat: 7 kuralı yalnız bölünüp bölünmediğini söyler, kalanı doğrudan vermez. 204 için kural 12 sonucunu verir ve 12'nin 7'ye bölümünden kalan 5'tir. Oysa 204 = 7 × 29 + 1 olduğu için 204'ün kalanı 1'dir. 7 ile kalan sorulursa bölmeyi yap ya da sayıyı 7'nin bilinen bir katına yakın yaz.
Günlük hayattan: Bugün pazartesi ise 100 gün sonra hangi gün olur? Hafta 7 gündür ve 100 = 7 × 14 + 2 olur. 14 tam hafta sonra yine pazartesidir. Üstüne 2 gün eklersen çarşambayı bulursun.
10. Sınıf Düzeyi Çözümlü Örnekler
Örnek 1: a sayısının 9'a bölümünden kalan 4, b sayısının 9'a bölümünden kalan 7'dir. a + b ve a · b sayılarının 9'a bölümünden kalanlar kaçtır?
- Kalanlarla işlem yapabilirsin. 4 + 7 = 11 ve 11'in 9'a bölümünden kalan 2'dir.
- 4 × 7 = 28 ve 28 = 9 × 3 + 1 olduğu için çarpımın kalanı 1'dir.
- Sağlama: a = 13, b = 16 seç. 13 + 16 = 29 = 9 × 3 + 2 ve 13 × 16 = 208 = 9 × 23 + 1.
Sonuç: a + b'nin kalanı 2, a · b'nin kalanı 1'dir.
Örnek 2: Dört basamaklı 3A7B sayısının 5'e bölümünden kalan 3'tür ve sayı 9'a tam bölünür. A'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
- 5'e bölümden kalan 3 ise son basamak 3 ya da 8 olmalı. Yani B = 3 veya B = 8.
- 9'a bölünmesi için 3 + A + 7 + B = 10 + A + B toplamı 9'un katı olmalı.
- B = 3 ise 13 + A toplamı 18 olmalı, buradan A = 5 bulunur.
- B = 8 ise 18 + A toplamı 18 ya da 27 olmalı, buradan A = 0 veya A = 9 bulunur.
Sonuç: Sayılar 3.573, 3.078 ve 3.978'dir. A'nın alabileceği değerler 0, 5 ve 9'dur; toplamları 14 eder.
Sık Yapılan Hatalar
7 ile Bölünebilmede Ezber Karışıklığı
YANLIŞ: 7 ile bölünebilmede son basamağa bakılır sanmak. Bu YANLIŞTIR. 7'nin özel bir son basamak kuralı yoktur. |
DOĞRU: Birler basamağını 2 ile çarp, kalanından çıkar. Sonuç 0 ya da 7'nin katıysa bölünür. |
Son Basamak Kuralını Yanlış Uygulamak
YANLIŞ: 4'e bölünebilme için yalnızca son basamağa bakmak. 34 için 'son basamak 4, 4'e bölünür' demek yanlıştır. 34 ÷ 4 = 8 kalan 2 → 4'e bölünmez! |
DOĞRU: 4'e bölünebilme için son iki basamağı birden değerlendirmek gerekir. |
Bölme ile Bölünebilmeyi Aynı Sanmak
YANLIŞ: Her sayıya bölünebilme uygulanabilir sanmak. Bölünebilme yalnızca kalansız bölünme içindir. |
DOĞRU: Bölünebilme = Kalansız bölünme. Kalan 0 değilse sayı bölünebilir DEĞİLDİR. |
Bölünebilme Kuralları Hızlı Özet
- 2 ve 5 için son basamağa bak; 10 için son basamak 0 olmalı.
- 4 için son iki basamağa, 8 için son üç basamağa bak.
- 3 ve 9 için rakamları topla; toplam 3'e ya da 9'a bölünüyorsa sayı da bölünür.
- 6 ile bölünmesi için sayı hem 2'ye hem 3'e bölünmeli.
- 7 için birler basamağının 2 katını kalan kısımdan çıkar; sonuç 0 ya da 7'nin katıysa sayı bölünür.
- 2, 3, 4, 5, 8, 9 ve 10 kuralları kalanı da verir; 7 kuralı kalanı doğrudan vermez.
