11. sınıf matematik dörtgenlerin özellikleri konusu, dört kenarlı kapalı şekillerin açı, kenar, köşegen, simetri ve alan özelliklerini üçgen bilgisinden yola çıkarak açıklar. Her dörtgen bir köşegenle iki üçgene ayrıldığı için iç açılarının toplamı 360°'dir. Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar, eşkenar dörtgende ayrıca dik kesişir, dikdörtgende ise eşittir.
Ders özeti PDF: 11. sınıf dörtgenlerin özellikleri ders özetini PDF olarak indir (3 sayfa: kavram özeti, 5 çözümlü örnek, cevap anahtarlı 10 soruluk test).
Çoğu öğrenci dörtgen özelliklerini ezberler, sonra hangisinin hangi şekle ait olduğunu karıştırır. Bunun çaresi, her özelliğin nereden geldiğini bilmektir. Yazıyı bitirdiğinde özellikleri üçgenlerle gerekçelendirebilecek, açı ve alan sorularını adım adım çözebileceksin.
Dörtgenlerin Özellikleri Hangi Sınıfta, Hangi Ünitede?
Bu konu 11. sınıfta, Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli matematik programının Geometrik Şekiller ünitesinde yer alır. Taslak yıllık plana göre 5. haftada, 12-16 Ekim arasında işlenir; kesin haftayı okulunun planından kontrol et. Programdaki öğrenme çıktısı şudur:
- MAT.11.2.1 Üçgenlerde açı, benzerlik ve alan özelliklerinden yola çıkarak dörtgenlerin açı, kenar, köşegen, simetri ve alan özelliklerine ilişkin muhakeme yapabilme
Dörtgen Nedir? Dörtgenler Kaça Ayrılır?
Dörtgen, herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın sırayla birleştirilmesiyle oluşan, dört kenarlı kapalı şekildir. Köşegen, komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. Telefonunun ekranı, defterinin kapağı ya da gökyüzündeki bir uçurtma, her gün gördüğün dörtgenlerdir.
Dörtgenler önce kenarlarının paralelliğine göre gruplanır. Paralel kenarı olmayan genel dörtgen, paralel kenar çifti bulunan yamuk ve iki çift karşılıklı kenarı paralel olan paralelkenar temel gruplardır. Paralelkenardan dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve kare doğar. Deltoid ise komşu kenarlarına göre tanımlanan ayrı bir türdür.
Konveks ve Konkav Dörtgen
Bütün iç açıları 180°'den küçük olan dörtgen konveks (dışbükey), biri 180°'den büyük olan dörtgen konkav (içbükey) dörtgendir. Konkav dörtgende bir köşegen şeklin dışına düşer.
Özel Dörtgenler Nasıl Sıralanır?
Paralelkenarın bütün açıları 90° olursa dikdörtgen, bütün kenarları eşit olursa eşkenar dörtgen elde edilir. Hem açıları 90° hem kenarları eşit olan şekil karedir. Bu yüzden her kare bir dikdörtgendir, ama her dikdörtgen kare değildir.
Mantık: Alt basamaktaki şekil, üst basamağın bütün özelliklerini taşır. Kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgen olduğu için ikisinin kuralları da kareye uygulanır.
Dikkat: Paralelkenarın yamuk sayılıp sayılmadığı, yamuk tanımına bağlıdır. Ders kitabındaki tanımı esas al, çünkü sorular ona göre hazırlanır.
Dörtgen İç Açıları Toplamı Neden 360°?
ABCD dörtgeninde A ile C köşelerini birleştiren köşegeni çiz. Dörtgen, ABC ve ACD adlı iki üçgene ayrılır. Her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan dörtgenin açıları toplamı 180° + 180° = 360° olur.
Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır; iki üçgenin açıları toplamı 360° eder.
Kural: Her dörtgende iç açıların toplamı 360°'dir; konkav dörtgende de bu değişmez. Çünkü konkav dörtgen de içeriden çizilen bir köşegenle iki üçgene ayrılabilir.
Konveks bir dörtgenin dış açıları toplamı da 360°'dir. Bisikletle bir parkın çevresini dolaşıp başladığın yere döndüğünde, köşelerdeki dönüşlerin toplamı tam bir tur eder.
Paralelkenarda Ardışık Açılar Neden 180°?
Paralelkenarda AB ve DC kenarları paraleldir. AD kenarı, bu iki paralel doğruyu kesen bir doğru gibi davranır. Paralel iki doğruyu kesen doğrunun aynı tarafındaki iç açıların toplamı 180°'dir; bunu doğruda açılar konusundan biliyorsun. Bu yüzden A ve D açılarının toplamı 180° olur.
A + B = 180° ve B + C = 180° ise A = C bulunur; yani karşılıklı açılar eştir.
Dörtgenlerin Özellikleri Nelerdir? Kenar ve Köşegenler
Sana dörtgenlerin özellikleri nelerdir diye sorulursa önce şekli tanı, sonra özelliği üçgenle gerekçelendir. Kenar ve köşegen özelliklerinin neredeyse hepsi eş üçgenlerden gelir.
Üç şeklin köşegenleri de birbirini ortalar; eşkenar dörtgende dik, dikdörtgende eştir.
Paralelkenar Özellikleri Nelerdir?
ABCD paralelkenarında AC köşegenini çiz. AB ∥ DC olduğundan BAC ve DCA açıları iç ters açılardır ve eştir. AD ∥ BC olduğundan DAC ve BCA açıları da eştir. AC ise iki üçgenin ortak kenarıdır.
İki açısı ve bu açıların arasındaki kenarı eş olan üçgenler eştir. Bu yüzden ABC ve CDA üçgenleri eştir; buradan AB = DC ve BC = AD bulunur. Aynı yolla köşegenlerin oluşturduğu karşılıklı üçgenler de eşlenir. Sonuç olarak paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar.
Eşkenar Dörtgen Özellikleri Nelerdir?
Eşkenar dörtgen, dört kenarı eş olan paralelkenardır. Paralelkenar olduğu için onun bütün özelliklerini taşır. Bunlara ek olarak köşegenleri dik kesişir ve köşe açılarını ikiye böler.
Peki neden dik? ABCD eşkenar dörtgeninde AB = AD olduğundan ABD üçgeni ikizkenardır. Köşegenler O noktasında kesişip birbirini ortaladığı için AO, BD tabanına inen kenarortaydır. İkizkenar üçgende tabana inen kenarortay aynı zamanda yüksekliktir; bu yüzden AC ⊥ BD olur.
Kısacası eşkenar dörtgen özellikleri iki maddede toplanır: paralelkenarın her özelliği ve dik köşegenler. Köşegenler eş değildir; eş olsaydı şekil kare olurdu.
Dikdörtgenin Köşegenleri Neden Eştir?
Dikdörtgen, bütün açıları 90° olan paralelkenardır. ABC ve BAD üçgenlerine bak: AB ortak kenar, BC = AD ve aradaki açılar 90°'dir. İki kenarı ve aralarındaki açısı eş olan üçgenler eş olduğundan AC = BD bulunur.
Yamuk Özellikleri ve Orta Taban
Yamukta paralel kenarlara taban, diğer iki kenara yan kenar denir. Yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban adı verilir. Tabanları a ve c olan yamukta orta taban (a + c) / 2'dir.
Bir köşegen çizince yamuk iki üçgene ayrılır. Üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçası üçüncü kenara paraleldir ve onun yarısıdır. Orta taban bu iki parçanın toplamı olduğu için a / 2 + c / 2 = (a + c) / 2 bulunur.
Köşegenler yamukta benzer üçgenler de oluşturur. AB ∥ DC ise köşegenlerin kesiştiği E noktasında ABE ve CDE üçgenleri oluşur. Paralel tabanlar iç ters açıları eş yaptığı için bu üçgenler üçgenlerde benzerlik kuralları gereği benzerdir. Benzerlik oranı AB / DC, alanlar oranı ise bu oranın karesidir.
İkizkenar yamukta yan kenarlar, taban açıları ve köşegenler eştir. Bu özel yamuğun formüllerini ikizkenar yamuk alanı yazısında ayrıca bulabilirsin.
Kare ve Deltoid
Kare hem dikdörtgenin hem eşkenar dörtgenin bütün özelliklerini taşır: köşegenleri eş, dik ve birbirini ortalar. Ayrıntıları karenin tüm özellikleri yazısında bulabilirsin.
Deltoid, iki ayrı çift komşu kenarı eş olan dörtgendir. Köşegenleri dik kesişir ve alanı e · f / 2'dir. Hesap örnekleri için deltoid alan ve köşegen hesabı yazısına göz at.
Dörtgenlerde Simetri Doğrusu Nasıl Bulunur?
Simetri doğrusu, şekli üst üste tam çakışan iki eş parçaya ayıran doğrudur. Kare dört simetri doğrusuna sahiptir: iki köşegeni ve karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren iki doğru.
Dikdörtgende yalnız kenar ortalarından geçen iki doğru, eşkenar dörtgende ise iki köşegen simetri doğrusudur. İkizkenar yamuk ve deltoidin birer simetri doğrusu vardır, genel paralelkenarın ise hiç yoktur.
Günlük hayattan: Bir uçurtmayı uzun çubuğu boyunca katlarsan iki yarısı örtüşür. Deltoidin tek simetri doğrusu, işte bu katlama çizgisidir.
Dörtgenlerde Alan Üçgenden Nasıl Türetilir?
Paralelkenar Alanı ve Yamukta Alan
Paralelkenarı bir köşegenle böldüğünde iki eş üçgen oluşur. Taban a, yükseklik h ise her üçgenin alanı a · h / 2'dir. İki üçgen toplanınca paralelkenarın alanı a · h olur.
Yamukta alan da aynı fikirle bulunur. Köşegen, yamuğu tabanları a ve c olan iki üçgene ayırır; iki üçgenin yüksekliği aynıdır. Toplam alan a · h / 2 + c · h / 2 = (a + c) · h / 2 olur.
Dikkat: Yükseklik, tabana dik inen uzaklıktır; eğik kenar yükseklik değildir. Kenar uzunluğunu yükseklik yerine kullanırsan alanı olduğundan büyük bulursun.
Köşegenleri Dik Kesişen Dörtgenlerin Alanı
Köşegenleri e ve f olan ve dik kesişen bir dörtgende e köşegenini taban kabul et. Dörtgen bu köşegenin iki yanında iki üçgene ayrılır. Üçgenlerin yükseklikleri toplamı diğer köşegen f'ye eşittir. Böylece alan e · h₁ / 2 + e · h₂ / 2 = e · f / 2 bulunur.
Bu formül eşkenar dörtgen, kare ve deltoidde kullanılır. Parktaki eşkenar dörtgen biçimli bir kum havuzunun köşegenleri 4 m ve 3 m ise alanı 4 · 3 / 2 = 6 m² olur.
Özel Dörtgenler Nasıl Karşılaştırılır?
Aşağıdaki tablo, dörtgenlerde köşegen ve simetri özelliklerini tek bakışta gösterir. Dolabındaki kıyafetleri türüne göre ayırdığın gibi dörtgenleri de ortak özelliklerine göre ayırabilirsin.
| Dörtgen | Kenarlar | Köşegenler birbirini ortalar mı? | Köşegenler dik mi? | Köşegenler eş mi? | Simetri doğrusu | Alan |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Paralelkenar | Karşılıklı kenarlar paralel ve eş | Evet | Hayır | Hayır | 0 | a · h |
| Eşkenar dörtgen | Dört kenar eş | Evet | Evet | Hayır | 2 | e · f / 2 |
| Dikdörtgen | Karşılıklı kenarlar eş, açılar 90° | Evet | Hayır | Evet | 2 | a · b |
| Kare | Dört kenar eş, açılar 90° | Evet | Evet | Evet | 4 | a² |
| İkizkenar yamuk | Tabanlar paralel, yan kenarlar eş | Hayır | Hayır | Evet | 1 | (a + c) · h / 2 |
| Deltoid | İki çift komşu kenar eş | Biri diğerini ortalar | Evet | Hayır | 1 | e · f / 2 |
Dörtgenlerin Özellikleri Konusunda Sık Yapılan Hatalar Nelerdir?
- Eşkenar dörtgenin köşegenlerini eş sanmak: Köşegenler diktir; eş olmaları için şekil kare olmalıdır.
- Dikdörtgenin köşegenlerini dik sanmak: Köşegenler eştir; dik olmaları için yine kare gerekir.
- Paralelkenarın alanını iki kenarın çarpımı sanmak: Alan taban ile yüksekliğin çarpımıdır, eğik kenar yükseklik değildir.
- Yamukta orta tabanı iki tabanın toplamı sanmak: Orta taban, toplamın yarısıdır.
- e · f / 2 formülünü her dörtgene uygulamak: Formül yalnız köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde geçerlidir.
- Kare biçimli bir fayansa eşkenar dörtgen denemeyeceğini sanmak: Kare, kenarları eş olduğu için bir eşkenar dörtgendir.
Dörtgen Soruları Nasıl Çözülür? Çözümlü Örnekler
Örnek 1: Oranlı İç Açılar
Bir dörtgenin açıları x, 2x, 3x ve 4x ile orantılıdır. Açıları bulalım.
Dörtgen iç açıları toplamı 360° olduğundan x + 2x + 3x + 4x = 360° yazılır. Buradan 10x = 360° ve x = 36° bulunur. Açılar 36°, 72°, 108° ve 144° olur. Kontrol: 36 + 72 + 108 + 144 = 360.
Örnek 2: Eşkenar Dörtgende Kenar ve Alan
Köşegenleri 6 cm ve 8 cm olan eşkenar dörtgenin çevresini ve alanını bulalım.
Köşegenler birbirini ortalar ve diktir. Oluşan dik üçgenin dik kenarları 3 cm ve 4 cm olur. Kenar √(9 + 16) = √25 = 5 cm bulunur, çevre 4 · 5 = 20 cm olur. Alan ise 6 · 8 / 2 = 24 cm²'dir.
Örnek 3: Yamukta Orta Taban ve Alan
Tabanları 6 cm ve 14 cm, yüksekliği 5 cm olan bir yamuk veriliyor. Orta taban (6 + 14) / 2 = 10 cm olur. Alan, orta taban ile yüksekliğin çarpımıdır: 10 · 5 = 50 cm².
Örnek 4: Yamukta Benzer Üçgenler
ABCD yamuğunda AB ∥ CD, AB = 12 ve CD = 4'tür. Köşegenler E noktasında kesişir ve AE = 9'dur. EC uzunluğunu ve ABE ile CDE üçgenlerinin alanları oranını bulalım.
ABE ve CDE üçgenleri, iç ters açılar eş olduğu için benzerdir. Benzerlik oranı 12 / 4 = 3'tür. Bu yüzden EC = 9 / 3 = 3 bulunur. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi olduğundan 3² = 9 olur.
Örnek 5: Bahçedeki Çiçek Tarhı
Köşegenleri 10 m ve 14 m olan dörtgen biçimli bir bahçenin kenar orta noktaları birleştirilerek bir çiçek tarhı yapılıyor. Tarhın şekli ve çevresi nedir?
Bahçeyi bir köşegenle iki üçgene ayır. Her üçgende kenar orta noktalarını birleştiren parça, köşegene paraleldir ve onun yarısıdır. Karşılıklı kenarlar aynı köşegene paralel ve eş olduğu için tarh bir paralelkenardır. Kenarları 10 / 2 = 5 m ve 14 / 2 = 7 m olduğundan çevre 2 · (5 + 7) = 24 m bulunur.
Hatırlatma: Hangi dörtgeni çizersen çiz, kenar orta noktaları bir paralelkenar oluşturur. Çünkü gerekçe yalnız üçgende orta taban kuralına dayanır.
Dörtgenlerin Özellikleri Hızlı Özet
11. sınıf matematik dörtgenlerin özellikleri konusunu şu maddelerle tekrar edebilirsin:
- Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır; bu yüzden iç açılar toplamı 360°'dir.
- Paralelkenarda ardışık açılar toplamı 180°'dir, köşegenler birbirini ortalar.
- Eşkenar dörtgende köşegenler dik, dikdörtgende eş, karede hem eş hem diktir.
- Yamuk özellikleri / yamukta alan: orta taban (a + c) / 2, alan (a + c) · h / 2, köşegenlerle oluşan üçgenler benzer.
- Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde alan e · f / 2'dir.
- Simetri doğrusu sayısı: kare 4, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen 2, ikizkenar yamuk ve deltoid 1, genel paralelkenar 0.
Dörtgenlerin Özellikleri Mini Test
- Bir dörtgenin üç açısı 80°, 95° ve 110°'dir. Dördüncü açı kaç derecedir?
- Köşegenleri 10 ve 24 birim olan eşkenar dörtgenin bir kenarı kaç birimdir?
- Hangi dörtgende köşegenler hem eş hem diktir?
- Tabanları 8 ve 12 birim, yüksekliği 6 birim olan yamuğun alanı kaç birimkaredir?
- İkizkenar yamuğun kaç simetri doğrusu vardır?
Cevap Anahtarı
- 75°. 360 − (80 + 95 + 110) = 75 bulunur.
- 13. Yarılar 5 ve 12 olduğundan kenar √(25 + 144) = 13 olur.
- Kare. Kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgen olduğu için iki özelliği de taşır.
- 60. Alan (8 + 12) · 6 / 2 = 60 birimkaredir.
- 1. Tek simetri doğrusu, iki tabanın orta noktalarından geçer.
Daha fazla alıştırma için 11. sınıf matematik sorularıyla pratik yap.
11. Sınıf Matematik Dörtgenlerin Özellikleri PDF: Konu Özeti ve Test
Konuyu tekrar etmen için hazırladığımız dörtgenler PDF dosyası, üç sayfalık bir ders notu. İlk sayfada açı, köşegen, simetri ve alan kurallarını özetleyen kartlar ile özel dörtgenler karşılaştırma tablosu var. İkinci sayfada adım adım çözülmüş 5 örnek, üçüncü sayfada cevap anahtarlı 10 soruluk test yer alıyor. Yazdırıp defterine ekleyebilir, yazılıdan önce hızlı bir tekrar yapabilirsin. Dörtgenlerin özellikleri PDF dosyasını ücretsiz indir.
