İşçi Problemleri Formülü Nedir? İşçi ve Havuz Problemleri Konu Anlatımı, Formüller ve Örnekler

İşçi Problemleri Nedir?

İşçi problemleri; iş, hız ve zaman arasındaki ilişkiyi konu alan klasik matematik sorularıdır. Bu problem türünde genellikle bir ya da birden fazla işçinin belirli bir işi ne kadar sürede tamamladığı sorulur. Sorular oran-orantı mantığıyla kurulur; yani formülü ezberlemek yerine temel ilişkiyi kavramak çok daha önemlidir.

Bu konuyu kavramak için önce işçi problemleri formülünü doğru anlamak gerekir. Formül ezberlenir gibi görünse de aslında son derece sezgisel bir mantığa dayanır: bir iş sabit büyüklükte kabul edilir ve bu işi yapacak olanın hızı, zaman ile ters orantılıdır.

İşçi Problemleri Formülü Nedir?

İşçi problemlerinde kullanılan temel formül şudur:

İş = Hız × Zaman

Burada hız, bir işçinin birim zamanda (genellikle bir günde) yaptığı iş miktarını ifade eder. Örneğin bir işçi bir işi 5 günde bitiriyorsa, günde yaptığı iş toplam işin 1/5'idir. İşin tamamı ise her zaman 1 (bir bütün) olarak alınır.

İşçi problemleri formülü ezber değil, bu temel mantık üzerine kurulur. Hızı doğru tanımladığınızda tüm sorular kendiliğinden çözülür.

İşçi Problemlerinde Temel Mantık Nasıl Kurulur?

İşçi problemlerini çözerken her zaman işin tamamını 1 olarak kabul edin. Bu basit ama güçlü bir yaklaşımdır.

Bir işçi işi x günde bitiriyorsa

Günlük iş = 1 / x

Örneğin Ali bir evi 8 günde boyuyorsa, günlük iş miktarı = 1/8'dir. Bunu "her gün işin sekizde birini yapıyor" diye okuyun.

İki işçi birlikte çalışıyorsa

Günlük iş miktarları toplanır. Biri x günde, diğeri y günde bitiriyorsa:

Birlikte günlük iş = 1/x + 1/y

Birlikte kaç günde bitirirler sorusu için: Toplam süre = 1 ÷ (1/x + 1/y) şeklinde hesaplanır.

Biri yapıp biri bozuyorsa

Bir kişi iş yaparken diğeri yaptığı işi bozuyorsa hızlar toplanmaz — çıkarılır.

Net hız = 1/x − 1/y (x yapan, y bozan)

İşçi Sayısı ile Süre Arasındaki İlişki

İşçi sayısı artarsa iş daha hızlı tamamlanır; yani süre kısalır. Bu ters orantı ilişkisidir. Aynı hızda çalışan işçiler söz konusu olduğunda şu eşitlik hep geçerlidir:

İşçi sayısı × Süre = Sabit

Örneğin: 4 işçi bir işi 6 günde bitiriyorsa, 8 işçi aynı işi 3 günde bitirir (4×6 = 8×3 = 24).

💡 İpucu: İşçi sayısı 2 katına çıkarsa süre yarıya iner. İşçi sayısı 3'e katlanırsa süre üçte birine düşer.

Birlikte Çalışma Soruları Nasıl Çözülür?

Bu soru tipi sınavlarda en sık karşılaşılan işçi problemi biçimidir. Öğrencilerin en sık yaptığı hata şudur: "Günleri toplarım, ortalamasını alırım." Bu yanlıştır.

Neden günler değil hızlar toplanır?

Çünkü iş bir bütündür ve her işçi o bütünden kendi payına düşen oranı her gün yapar. İki işçi birlikte çalışırken günde yapılan toplam iş, her birinin günlük iş oranlarının toplamına eşittir.

Yani: Birlikte yapılan günlük iş = 1/x + 1/y ← Bu oran toplanır, günler değil.

Temel birlikte çalışma formülü

Birlikte bitirme süresi = 1 ÷ (1/x + 1/y) = xy ÷ (x + y)

Örnek: Ahmet bir işi 6 günde, Mehmet 12 günde bitiriyor. Birlikte kaç günde bitirirler?

Çözüm: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 → Birlikte 1 günde işin 1/4'ünü yapıyorlar. Toplam süre = 4 gün.

İşçi Problemleri ile Havuz Problemleri Aynı Mantıkta mı Çözülür?

Evet, tamamen aynı mantık geçerlidir. Havuz problemleri de birim zamanda doldurulan ya da boşaltılan su miktarı üzerine kurulur. Bu nedenle işçi ve havuz problemleri çözüm yöntemi birebir örtüşür.

Doldurma problemleri

Bir musluk havuzu x saatte, diğeri y saatte dolduruyorsa — aynı anda çalışırlarsa hızlar toplanır:

Birlikte dolum hızı = 1/x + 1/y

Doldurma ve boşaltma birlikteyse

Bir musluk doldururken bir tahliye boşaltıyorsa hızlar çıkarılır:

Net hız = 1/x − 1/y (x doldurur, y boşaltır)

İşçi problemi ile havuz problemi arasındaki ortak nokta

Her ikisi de birim zamanda yapılan iş (veya doldurulan hacim) mantığına dayanır. Biri yapıp biri bozuyorsa çıkarma, ikisi birlikte yapıyorsa toplama yapılır. Bu mantık hem işçi hem havuz problemleri için ortaktır.

💡 İpucu: Havuz problemlerini gördüğünüzde hemen musluğu "işçi", havuzu "iş" olarak çevirin. Aynı formülleri uygulayın.

En Sık Kullanılan İşçi Problemleri Formülleri

İşçi problemleri formülleri arasında en temel olanlar şunlardır:

Sık Karıştırılan Noktalar

Gün mü toplanır, hız mı toplanır?

Kesinlikle hız toplanır. Gün toplamak yanlış bir işlemdir. "Ali 4 günde, Veli 6 günde bitiriyor; birlikte 10 günde bitirir" demek matematiksel olarak hatalıdır. Doğru yaklaşım: 1/4 + 1/6 = 5/12 → Birlikte süre = 12/5 = 2,4 gün.

İşçi sayısı artarsa süre neden azalır?

Çünkü iş sabit kalır, toplam hız artar. Daha fazla işçi aynı işi daha kısa sürede tamamlar. İşçi sayısı ve süre ters orantılıdır; biri artarken diğeri azalır.

Havuz problemlerinde neden çıkarma yapılır?

Bir musluk havuzu doldururken diğeri boşaltıyorsa, birinin katkısı diğerinin katkısını azaltır. Dolayısıyla dolum hızından boşalım hızı çıkarılır ve net dolum hızı elde edilir.

Örneklerle İşçi Problemleri Çözümü

Örnek 1 — Tek işçi

Bir usta bir işi 10 günde bitiriyor. 3 günde işin ne kadarını yapar?

Çözüm: Günlük iş = 1/10. 3 günde = 3 × 1/10 = 3/10. Yani işin 3/10'unu tamamlar.

Örnek 2 — Birlikte çalışma

Ayşe bir işi 8 günde, Fatma aynı işi 12 günde bitiriyor. Birlikte kaç günde tamamlarlar?

Çözüm: 1/8 + 1/12 = 3/24 + 2/24 = 5/24. Birlikte günlük iş: 5/24 → Süre = 24/5 = 4,8 gün.

Örnek 3 — Bozucu etkili

Bir işçi bir duvarı 6 günde örerken başkası 12 günde yıkıyor. İkisi aynı anda çalışırsa duvar ne zaman tamamlanır?

Çözüm: Net hız = 1/6 − 1/12 = 2/12 − 1/12 = 1/12 → Süre = 12 gün.

Örnek 4 — Havuz dolumu

Bir musluk havuzu 4 saatte, diğeri 6 saatte dolduruyor. Birlikte kaç saatte dolar?

Çözüm: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 → Süre = 12/5 = 2,4 saat.

Örnek 5 — Doldurma + Boşaltma

Bir musluk havuzu 3 saatte dolduruyor, bir drenaj ise 9 saatte boşaltıyor. Net dolum süresi nedir?

Çözüm: 1/3 − 1/9 = 3/9 − 1/9 = 2/9 → Süre = 9/2 = 4,5 saat.

Pratik Çözüm İpuçları

İşin tamamını her zaman 1 (bir bütün) olarak alın — bu yaklaşım çoğu soruda işlemi kolaylaştırır. Günleri değil, iş yapma oranlarını toplayın veya çıkarın. "Birlikte", "ayrı ayrı", "bozuyor", "boşaltıyor" gibi anahtar kelimeleri dikkatle okuyun — işlemin toplama mı çıkarma mı olduğunu bunlar belirler. Kesirlerde ortak payda bulmak için EBOB/EKOK kullanmak işlemi hızlandırır. Havuz problemlerini gördüğünüzde zihinsel olarak "musluk = işçi, hacim = iş" çevrimini yapın.

Mini Test (5 Soru + Kısa Çözümleri)

Soru 1: Bir işçi bir işi 15 günde bitiriyor. Bir günde işin kaçta kaçını yapar? → Cevap: Günlük iş = 1/15

Soru 2: A bir işi 10 günde, B aynı işi 15 günde bitiriyor. Birlikte kaç günde bitirirler? → Cevap: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 → Birlikte 6 günde tamamlar.

Soru 3: Bir işçi duvarı 8 günde örerken başkası 24 günde yıkıyor. Kaç günde tamamlanır? → Cevap: 1/8 − 1/24 = 3/24 − 1/24 = 2/24 = 1/12 → 12 gün.

Soru 4: Bir musluk havuzu 5 saatte dolduruyor, drenaj 10 saatte boşaltıyor. Net süre nedir? → Cevap: 1/5 − 1/10 = 2/10 − 1/10 = 1/10 → 10 saat.

Soru 5: 6 işçi bir işi 8 günde bitiriyor. Aynı işi 4 günde bitirmek için kaç işçi gerekir? → Cevap: 6 × 8 = x × 4 → x = 12 işçi. (Ters orantı)

PDF DERS NOTU İNDİR 

Sık Sorulan Sorular

İşçi problemleri formülü nedir? Temel formül: İş = Hız × Zaman. Hız = bir işçinin günlük iş miktarı (= 1/x).

İşçi problemleri nasıl çözülür? İşin tamamını 1 kabul edin, her işçinin günlük hızını bulun, hızları toplayın ya da çıkarın.

İşçi problemlerinde hız nasıl bulunur? İşçi işi x günde bitiriyorsa günlük hızı = 1/x'tir.

Birlikte çalışan işçilerin yaptığı iş nasıl hesaplanır? Günlük hızları toplanır: 1/x + 1/y. Toplam süre = 1 ÷ (1/x + 1/y).

Havuz problemleri hangi mantıkla çözülür? İşçi problemiyle aynı mantıkla: musluk = işçi, hacim = iş. Doldurma + toplanır, boşaltma − çıkarılır.

İşçi sayısı artarsa işin bitme süresi nasıl değişir? Ters orantı nedeniyle süre azalır. İşçi sayısı × süre = sabittir.

İşçi ve havuz problemleri aynı yöntemle mi çözülür? Evet. İkisi de birim zamanda yapılan iş mantığına dayanır; çözüm adımları birebir aynıdır.