Açıortay ve kenarortay — TYT ve AYT'de sıkça karıştırılan iki kavram. Pek çok öğrenci sınav anında "Hangisi orantılı bölüyordu?" diye düşünmek zorunda kalıyor. Bu sayfada üç temel konuyu bir arada ve örnekli şekilde ele alıyoruz: iç açıortay, dış açıortay ve kenarortay. ÖSYM bu konuları özellikle oran-orantı ve kenar hesaplama sorularında kullanıyor. Baştan sona okursan hem kavramsal hem işlemsel olarak sınava hazır olursun.
Açıortay Nedir?
Bir açıyı iki eşit parçaya bölen ışına açıortay denir. Üçgenlerde her köşe açısından bir iç açıortay çizilebilir; bunun yanı sıra dış açılar için de açıortay söz konusudur.
Temel nokta: Açıortay açıyı böler, kenarı ise orantılı böler — eşit değil, orantılı.
İç Açıortay
İç Açıortay Teoremi
ABC üçgeninde A köşesinden çıkan iç açıortay, BC kenarını D noktasında keser. Bu durumda şu teorem geçerlidir:
BDDC=ABAC
Yani açıortayın karşı kenar üzerinde belirlediği iki parçanın oranı, açıortayın çıktığı köşeye komşu iki kenarın oranına eşittir.
💡 Akılda kalması için: "İç açıortay, karşı kenarı daima orantılı böler. D noktası her zaman üçgenin içindedir."
Örnek: AB = 8 cm, AC = 12 cm olsun. BD/DC = 8/12 = 2/3 BC = 10 cm ise → BD = 4 cm, DC = 6 cm
İç Açıortay Kuralları
Kural | Açıklama |
Açıyı iki eş açıya böler | A açısı → ∠BAD = ∠DAC |
Karşı kenarı orantılı böler | BD/DC = AB/AC |
Üçgenin içinde kalır | Her durumda D noktası üçgen içindedir |
Dış Açıortay
Tanım
Bir üçgenin herhangi bir iç açısının bitişiğindeki dış açıyı iki eşit parçaya bölen ışına dış açıortay denir. Başka bir deyişle: iç açının uzantısıyla oluşan dış açının açıortayıdır.
Dış Açıortay Teoremi
ABC üçgeninde A köşesinin dış açıortayı, BC doğrusunu D noktasında keser. Bu durumda:
BDDC=ABAC(D noktası ucgenin dısındadır)
⚠️ NOT: Oran iç açıortayla birebir aynıdır — fakat D noktası bu sefer BC kenarının uzantısında, yani üçgenin dışında yer alır. Bu kritik farkı sınav anında unutmamak için formülü her zaman "D dışarıda" notu ile birlikte düşün.
Dış Açıortay Formülü
Dış açıortay teoremini sayısal bir soruda şöyle kullanırız:
Örnek Çözüm: AB = 10 cm, AC = 5 cm, BC = 9 cm olsun. BD/DC = 10/5 = 2 → BD = 2·DC D dışarıda olduğu için: BD − DC = BC 2DC − DC = 9 → DC = 9 cm, BD = 18 cm
Dış Açıortayların Kesim Noktası
Bir üçgenin iki dış açıortayı ile bir iç açıortayı aynı noktada kesişir. Bu noktaya dış merkez (excenter) denir.
- Her üçgenin 3 adet dış merkezi vardır: I₁, I₂, I₃
- Dış merkez, o köşeye karşılık gelen dış teğet çemberinin merkezidir
- Üçgenin iç teğet çemberi (incircle) ile karıştırılmamalıdır
💡 Sınav ipucu: Çoğu kaynakta dış merkez bilgisi yer almaz. "Dış açıortayların kesim noktası nerededir?" sorusu gelirse cevap: dış merkez (excenter).
Kenarortay Nedir?
Kenarortay, bir üçgenin herhangi bir kenarının orta noktasını o kenara karşı düşen köşeyle birleştiren doğru parçasıdır. Yani kenarortay açıyı değil, kenarı eşit iki parçaya böler.
🔁 Hatırlatma: Kenarortay açıyı eşit bölmez — ama kenarı eşit böler. Açıortay tam tersidir.
Kenarortayın Özelliği: Ağırlık Merkezi
Bir üçgenin üç kenarortayı tek bir noktada kesişir. Bu noktaya ağırlık merkezi (G) denir.
- Ağırlık merkezi her kenarortayı 2:1 oranında böler
- AG / GD = 2 / 1
- Yani köşeden ağırlık merkezine olan mesafe, ağırlık merkezinden kenar orta noktasına olan mesafenin iki katıdır
Kenarortay Formülü
a kenarı karşısındaki kenarortayın uzunluğu şu formülle bulunur:
ma=2b2+2c2-a22
Burada a, b, c üçgenin kenarlarını; mₐ ise a kenarına karşı düşen kenarortayı temsil eder.
Örnek: a = 6 cm, b = 5 cm, c = 7 cm mₐ = √(2·25 + 2·49 − 36) / 2 mₐ = √(50 + 98 − 36) / 2 mₐ = √112 / 2 = 2√7 cm
Açıortay – Kenarortay Arasındaki Fark
Sınavda bu iki kavram kasıtlı olarak karıştırılmaya çalışılır:
Özellik | Açıortay | Kenarortay |
Açıyı böler mi? | Evet (iki eşit parça) | Hayır |
Kenarı böler mi? | Orantılı böler | Eşit böler |
Ağırlık merkezi ilişkisi | Yok | Var (2:1 oranı) |
Teorem | İç / Dış Açıortay Teoremi | Kenarortay formülü |
TYT/AYT'de Açıortay Soruları – En Çok Gelen Tipler
ÖSYM açıortay ve kenarortay sorularını genellikle şu üç tipte sorar:
- BD/DC oranını bulma (İç açıortay teoremi, doğrudan uygulama)
- Dış açıortaydan D noktasının konumunu belirleme (D'nin dışarıda olduğu sorular)
- Kenarortay formülünü kullanarak bilinmeyen kenar veya uzunluk bulma
Örnek Soru Çözümleri
Soru 1 – Kolay (BD/DC Oranı)
ABC üçgeninde A açısının açıortayı BC'yi D'de kesiyor. AB = 6 cm, AC = 9 cm ise BD/DC = ?
Çözüm: BD/DC = AB/AC = 6/9 = 2/3
Soru 2 – Orta (Dış Açıortay)
ABC üçgeninde A açısının dış açıortayı BC doğrusunu D'de kesiyor. AB = 8 cm, AC = 4 cm, BC = 6 cm ise BD = ?
Çözüm: BD/DC = 8/4 = 2 → BD = 2·DC D dışarıda → BD − DC = 6 2DC − DC = 6 → DC = 6 cm, BD = 12 cm
Soru 3 – AYT Zorluk (Kenarortay Formülü)
ABC üçgeninde AB = 5, AC = 7, BC = 6 cm. A köşesinden çıkan kenarortayın uzunluğu nedir?
Çözüm: a = 6, b = 7, c = 5 mₐ = √(2·49 + 2·25 − 36) / 2 = √112 / 2 = 2√7 cm
PDF DERS NOYU İNDİR
Sık Sorulan Sorular (SSS)
Açıortay kuralları nelerdir? İç açıortay, açıyı iki eşit parçaya böler ve karşı kenarı BD/DC = AB/AC oranıyla böler. Dış açıortay da aynı oranı verir ancak D noktası üçgenin dışında kalır.
Dış açıortay formülü nasıl bulunur? BD/DC = AB/AC oranı kurulur, ardından D'nin dışarıda olduğu göz önünde bulundurularak BD − DC = BC (veya DC − BD = BC) ilişkisiyle hesap tamamlanır.
İç açıortay ile dış açıortay arasındaki fark nedir? İç açıortayda D noktası üçgenin içindeyken, dış açıortayda BC'nin uzantısında, yani dışındadır. Oran formülü her ikisinde de aynıdır.
Dış açıortayların kesim noktası neresidir? İki dış açıortay ile bir iç açıortayın kesiştiği nokta dış merkez (excenter) olarak adlandırılır. Bir üçgenin 3 farklı dış merkezi vardır.
Kenarortay formülü hangi durumlarda kullanılır? Üçgenin üç kenarı bilindiğinde, herhangi bir kenarortayın uzunluğunu bulmak için mₐ = √(2b² + 2c² − a²) / 2 formülü kullanılır.
