[log₂(x - 2)]² - 9 ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
A) 55
B) 54
C) 52
D) 50
E) 48

Question

[log₂(x - 2)]² - 9 ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 55 B) 54 C) 52 D) 50 E) 48

Accepted Answer

Bu matematik probleminin çözümünü adım adım inceleyelim: Adım 1: Logaritmik eşitsizliği sadeleştirme Verilen: t = log₂(x - 2) [t]² - 9 ≤ 0 eşitsizliğinden başlıyoruz. Bu eşitsizlik t·t - 9 ≤ 0 şeklinde yazılabilir. Faktörleme yaparsak: (t - 3)·(t + 3) ≤ 0 Buradan -3 ≤ t ≤ 3 sonucunu elde ederiz. Adım 2: Geri dönüştürme işlemi Şimdi t = log₂(x - 2) yerine koyarak: -3 ≤ log₂(x - 2) ≤ 3 Taban 2 > 1 olduğu için üstel fonksiyon monoton artan olur. Her tarafı 2 ile üssüne alırsak yön değişmez: 2⁻³ ≤ x - 2 ≤ 2³ Adım 3: Hesaplama 2⁻³ = 1/8 ve 2³ = 8 olduğundan: 1/8 ≤ x - 2 ≤ 8 Her tarafa 2 eklersek: 2 + 1/8 ≤ x ≤ 10 Ayrıca logaritmanın tanımlı olabilmesi için x - 2 > 0, yani x > 2 şartı vardır. Bu birleşimle tamsayı çözümler: x = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 olur. Adım 4: Toplam hesaplama 3'ten 10'a kadar 8 terim var. Aritmetik ortalama: (3 + 10) ÷ 2 = 6.5 Toplam: 8 × 6.5 = 52 Adım 5: Şık kontrolü A şıkkı: 55 - Hayır B şıkkı: 54 - Hayır C şıkkı: 52 - Evet, hesapladığımız değerle uyuyor D şıkkı: 50 - Hayır E şıkkı: 48 - Hayır Doğru Cevap: C Bu cevabın doğru olmasının nedeni logaritmik eşitsizliği doğru şekilde çözerek x'in alabileceği tamsayı değerlerini bulmuş ve bunların toplamını hesaplamış olmamızdır.

[log₂(x - 2)]² - 9 ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?

Öğretmenin Çözümü

Çözümün yazılı anlatımı

Benzer Sorular

Aynı boylam üzerinde yer alan farklı noktalarda güneşin aynı anda doğup aynı anda battığı

Aşağıda mevsimlerin oluşumu ile ilgili verilen öğrenci çalışma modellemelerinden hangisi doğrudur?

Güneş ışınlarının atmosferdeki yolunun uzaması ışınların tutulmasını artırır. Buna göre, yukarıda

Aşağıdaki şekillerde, farklı boylamlar arasında kalan yerlerin hepsinde K ve L noktaları arasındaki

Ekonomik ve kültürel işleyişi daha iyi organize edebilmek amacıyla oluşturulan işlevsel bölgelerde

Yüksek ve engebeli alanlarda nüfus genellikle azdır. Yükseltinin sıcaklığı düşürücü etkisi, tarım

Doğanın insan yaşamı üzerinde etkileri çok boyutludur. İnsanlar yaşadıkları doğal çevrenin

Yüksek ve engebeli alanlarda nüfus genellikle azdır. Yükseltinin sıcaklığı düşürücü etkisi, tarım

Aşağıda bir ülkenin 1970 ve 2025 yıllarına ait nüfus piramitleri verilmiştir. Nüfus piramitleri

Sıcak ve soğuk hava kütlelerinin karşılaşma alanlarında cephe yağışları görülür. Buna göre aşağıdaki