Küp açılımı, iki terimli bir ifadenin küpünün (a+b)³ veya (a−b)³ formülüyle açık hâle getirilmesidir. İki temel formül şudur: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ve (a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. İki formül arasındaki tek fark ikinci ve dördüncü terimlerin işaretidir; (a−b)³ açılımında işaretler sırayla +, −, +, − şeklinde gelir.
Küp özdeşlikleri lise matematiğinde çarpanlara ayırma ve polinomlar konusunun parçasıdır; TYT ve AYT matematik sorularında hem doğrudan hem de işlem kısaltma aracı olarak kullanılır. Bu rehberde formülleri, küplerin toplamı ve farkını, çözümlü örnekleri ve en sık yapılan hataları bulacaksın.
Küp Açılımı Nedir?
Bir ifadenin küpü, o ifadenin kendisiyle üç kez çarpılmasıdır: (a+b)³ = (a+b)·(a+b)·(a+b). Bu çarpım yapıldığında her zaman dört terim elde edilir ve bu dört terim sabit bir kalıba oturur. Bu kalıba tam küp özdeşliği denir.
Açılım ile çarpanlara ayırma birbirinin tersidir. Açılımda parantezli ifade dağıtılıp çok terimli hâle getirilir; çarpanlara ayırmada ise çok terimli ifade yeniden parantezli (çarpım) hâline dönüştürülür.
Net tanımlar
- Küp açılımı, bir iki terimlinin küpünün dört terimli bir polinom olarak yazılmasıdır.
- (a+b)³, a ile b toplamının küpüdür ve a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ifadesine eşittir.
- (a−b)³, a ile b farkının küpüdür ve a³ − 3a²b + 3ab² − b³ ifadesine eşittir.
- Küplerin toplamı, a³ + b³ ifadesinin (a+b)(a² − ab + b²) biçimindeki çarpanlarıdır.
- Küplerin farkı, a³ − b³ ifadesinin (a−b)(a² + ab + b²) biçimindeki çarpanlarıdır.
Küp Açılımı Formülleri: (a+b)³ ve (a−b)³
Toplamın küpü
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
İlk ve son terim yalnızca küp olarak kalır. Ortadaki iki terim 3 ile çarpılır: önce a'nın karesi (3a²b), sonra b'nin karesi (3ab²) alınır. a'nın kuvveti 3'ten 0'a azalırken b'nin kuvveti 0'dan 3'e artar; her terimde kuvvetler toplamı 3'tür.
Farkın küpü
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Katsayılar aynıdır, yalnızca işaretler değişir. −b'nin tek kuvvetleri (b ve b³) negatif, çift kuvveti (b²) pozitif sonuç verir; bu yüzden işaretler +, −, +, − sırasıyla gelir.
Terim | (a+b)³ | (a−b)³ |
1. terim | +a³ | +a³ |
2. terim | +3a²b | −3a²b |
3. terim | +3ab² | +3ab² |
4. terim | +b³ | −b³ |
Pratik eşitlik (TYT'de çok işe yarar) (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b) Soruda a+b ve ab verilip a³+b³ soruluyorsa, açılımı yazmak yerine bu eşitlikleri kullan (Mini Test Soru 4). |
Küp Açılımı Nasıl Yapılır? (Adım Adım)
- a ve b'yi belirle. Parantezin içindeki ilk terim a, ikinci terim b'dir. İşareti eksiyse (a−b)³ formülünü kullan.
- Katsayılı terimlerin kuvvetini tam al. 2a'nın küpü 2a³ değil, 8a³'tür; parantez içindeki sayı da kuvvete girer.
- Kalıba yerleştir: a³, 3a²b, 3ab², b³.
- İşaretleri diz: (a+b)³ için hepsi artı, (a−b)³ için + − + −.
- Sadeleştir: katsayıları çarp, benzer terimleri kontrol et.
Çözümlü Örnek 1: (x + 2)³
a = x, b = 2 → x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8
Çözümlü Örnek 2: (2a − 3)³
Burada ilk terim 2a, ikinci terim 3'tür ve işaret eksidir.
- (2a)³ = 8a³
- 3·(2a)²·3 = 3·4a²·3 = 36a² → işareti eksi
- 3·(2a)·3² = 3·2a·9 = 54a → işareti artı
- 3³ = 27 → işareti eksi
Sonuç: (2a − 3)³ = 8a³ − 36a² + 54a − 27
Çözümlü Örnek 3: 11³'ü kafadan hesaplamak
11 = 10 + 1 yazılır: (10 + 1)³ = 10³ + 3·10²·1 + 3·10·1² + 1³ = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331. Aynı yöntemle 99³ = (100 − 1)³ de hızlıca hesaplanabilir (Mini Test Soru 5).
Pascal Üçgeni ile Katsayı Bulma
Katsayıları ezberlemek zorunda değilsin. Pascal üçgeninde her sayı, üstündeki iki sayının toplamıdır. Kuvvetleri 0'dan saymaya başladığında 3. kuvvet satırı 1, 3, 3, 1 olur ve bu, küp açılımındaki katsayıların ta kendisidir. Aynı üçgenin 2. kuvvet satırı (1, 2, 1) kare açılımının katsayılarını verir.
Küplerin Toplamı ve Farkı (a³ ± b³)
a³ + b³ ve a³ − b³ ifadeleri açılmaz; çarpanlarına ayrılır. Bu yüzden (a+b)³ ile karıştırılmamalıdır.
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
İşaret kuralı: Aynı – Ters – Hep Artı. İlk parantez ifadenin işaretini alır (aynı), ikinci parantezdeki ab terimi ters işaretlidir (ters), a² ve b² ise her zaman artıdır (hep artı).
Örnekler
- x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3)(x² − 3x + 9)
- x³ − 8 = x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4)
- x³ + 1 = x³ + 1³ = (x + 1)(x² − x + 1) (kontrol: x = 2 için 3·3 = 9 ve 2³ + 1 = 9)
- 27 − a³ = 3³ − a³ = (3 − a)(9 + 3a + a²)
- 8a³ − 64b³ = (2a)³ − (4b)³ = (2a − 4b)(4a² + 8ab + 16b²)
Sık aranan özel ifadeler
- x³ tek başına: parantez olmadığı için açılımı yoktur; x·x·x anlamına gelir. "x küp açılımı" aramasında kastedilen genellikle (x+1)³ veya (x−1)³ gibi ifadelerdir: (x−1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1.
- x³ + y³: (x + y)(x² − xy + y²) (kontrol: x = 1, y = 2 için 3·3 = 9 ve 1 + 8 = 9).
- x³·y³: bir açılım değil, üslü ifade sadeleştirmesidir: x³·y³ = (xy)³.
Açılım mı, Çarpanlara Ayırma mı?
Soruda gördüğün | Yapacağın işlem | Örnek |
Parantezin küpü: (…)³ | Açılım (dört terim) | (x − 2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8 |
İki küpün toplamı/farkı: a³ ± b³ | Çarpanlara ayırma | x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4) |
a + b ve ab verilmiş, a³ + b³ soruluyor | Pratik eşitlik | a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) |
Sık Yapılan Hatalar
Hata | Yanlış | Doğru |
Orta terimleri unutmak | (a+b)³ = a³ + b³ | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
İşaret hatası | (a−b)³ = a³ − 3a²b − 3ab² − b³ | a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
Katsayının küpünü almamak | (2a)³ = 2a³ | 8a³ |
Toplam küpleri karıştırmak | a³ + b³ = (a+b)³ | (a+b)(a² − ab + b²) |
Fark küplerini karıştırmak | a³ − b³ = (a−b)³ | (a−b)(a² + ab + b²) |
Mini Test: 5 Soruda Kendini Dene
Soru 1. (x + 3)³ ifadesinin açılımı nedir?
Soru 2. (2x − 1)³ ifadesinin açılımı nedir?
Soru 3. x³ − 125 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Soru 4. a + b = 5 ve a·b = 2 ise a³ + b³ kaçtır?
Soru 5. 99³ sayısını küp açılımı ile hesaplayınız.
Cevaplar ve Çözümler
1. Cevap: x³ + 9x² + 27x + 27 – a = x, b = 3: x³ + 3·x²·3 + 3·x·9 + 27.
2. Cevap: 8x³ − 12x² + 6x − 1 – (2x)³ = 8x³; 3·4x²·1 = 12x² (eksi); 3·2x·1 = 6x (artı); 1³ = 1 (eksi).
3. Cevap: (x − 5)(x² + 5x + 25) – 125 = 5³; küplerin farkı formülü uygulanır.
4. Cevap: 95 – a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 125 − 3·2·5 = 125 − 30 = 95.
5. Cevap: 970 299 – (100 − 1)³ = 1 000 000 − 30 000 + 300 − 1 = 970 299.
Geometrideki "Küp Açınımı" ile Karıştırma
Aramalarda sık karıştırılan bir nokta: geometride bir küpün yüzeylerinin kâğıt üzerinde açılmış hâline küp açınımı denir ve ilkokul–ortaokul geometrik cisimler konusudur. Bu sayfadaki küp açılımı ise cebirsel bir işlemdir: (a+b)³ gibi bir ifadeyi dört terimli hâle getirmek. İkisi farklı konulardır.
