15 75 90 Üçgeni Nedir?

Eki 29, 2025 YKS Matematik YKS

15-75-90 üçgeni, TYT-AYT geometri ve matematik konularında sıkça karşımıza çıkan, kendine has kurallarıyla problem çözümünde hız kazandıran özel bir dik üçgendir. Kullanıcılar bu rehberde "15-75-90 üçgeni nedir, nasıl çözülür?" sorusunun cevabını, üçgenin özelliklerini, kenar oranlarını ve örnek sorularını öğreneceklerdir. Bu detaylı rehberde, bu özel üçgenin tüm sırlarını adım adım, görsellerle desteklenmiş bir şekilde keşfedeceğiz.

15 75 90 Üçgeni Nedir?

15-75-90 üçgeni, matematiğin geometri dalında yer alan ve iç açılarının sırasıyla 15,75,90 olduğu özel bir dik üçgendir. Tüm dik üçgenler gibi, iç açılarının toplamı 180 derecedir.

Bu 15-75-90 özel üçgeninin en dikkat çekici yönü, kenar uzunlukları arasında sabit ve değişmez oranlar bulunmasıdır. Bu sabit oranlar, trigonometrik hesaplamalar yapmadan birçok geometri problemini hızlıca çözmenize olanak tanır. Bu sebeple, 15-75-90 üçgeni, TYT-AYT geometri konularında sıkça karşımıza çıkan özel üçgenlerden biridir.

15 75 90 üçgeni, adından da anlaşılacağı gibi açıları 15°, 75° ve 90° olan bir özel üçgendir. Matematikte “özel üçgen” olarak adlandırılır çünkü açılarının ve kenarlarının birbirleriyle belirli oranları vardır.

Diğer adları: “90 15 75 üçgeni”, “15 75 90 özel üçgen”

Kullanım alanı: TYT ve AYT geometri soruları, trigonometrik uygulamalar ve özel ispatlarda

💡 İpucu: 90°’lik dik açıya sahip olduğu için dik üçgen özellikleri geçerlidir.

15 75 90 Üçgeni Özellikleri

15 75 90 üçgeni özellikleri, diğer özel üçgenlerden farklı olarak açı ve kenar oranlarıyla dikkat çeker.15 75 90 üçgeni özellikleri konusunu derinlemesine anlamak, geometri problemlerini çözerken zaman kazanmanız için kritik öneme sahiptir. 15-75-90 üçgeninin sahip olduğu temel 15-75-90 üçgeni özellikleri şunlardır

Açıların Sabit Oranı
- Küçük açı: 15°
- Büyük açı: 75°
- Dik açı: 90°

15 75 90 üçgeni, bir dik üçgen olduğu için iç açıları toplamı 180 derecedir.Bu özel üçgenin en belirgin özelliği, dar açılarının birbirine oranının sabit olmasıdır. Bu sabitlik, üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkinin de her zaman korunacağı anlamına geli

Kenar Uzunlukları Arasındaki İlişki-15,75,90 üçgeni kuralı
Kenarlar arasında belirli trigonometrik oranlar vardır:
Bu üçgenin en önemli kuralı, hipotenüse ait yükseklik (h) ile hipotenüs ( c) arasındaki orandır.

Kural: 90 derecenin köşesinden hipotenüse indirilen yükseklik h ise, hipotenüs uzunluğu daima bunun 4 katıdır, yani 4h 'tır

Örnekle Açıklama: Eğer 90 derecenin köşesinden hipotenüse indirilen yükseklik 3 cm ise, hipotenüsün tamamı 4x3=12 cm 'dir

İspat (Süper Üçlü Yöntemi):

1- Hipotenüse h yüksekliğini indirelim.

2-Daha sonra hipotenüsü iki eşit parçaya bölecek kenarortayı çizelim. 3-Muhteşem üçlü kuralı ve oluşan 30-60-90 özel üçgeninden yararlanarak, 30 derecenin karşısına h dediğimizde 90 derecenin karşısı 2h olur.

4- Süper üçlüden kenarortayın ayırdığı parçalar da 2h olacağından, hipotenüsün tamamı 2h + 2h = 4h olur.

Diğer Özel Üçgenlerle Kıyaslama

15 75 90 özel üçgeni, geometrik ve trigonometrik üçgenleri kategorisinde yer alan diğer popüler özel üçgenlerden hem kenar oranları hem de pratik uygulama yöntemleri açısından ayrılır.Bu özel üçgenlerin kenar uzunluklarını ve trigonometrik değerlerini bilmemiz bize sınavlarda hız kazandırır. Bu karşılaştırma, 15 75 90 üçgeninin benzersizliğini ve neden bazı öğrenciler için daha zorlayıcı kabul edildiğini anlamanıza yardımcı olacaktır.

Üçgen	Açılar	Kenar Oranları
15-75-90	15°, 75°, 90°	h : h/4 : 0,807h
30-60-90	30°, 60°, 90°	1 : √3 : 2
45-45-90	45°, 45°, 90°	1 : 1 : √2

💡 İpucu: 15 75 90 üçgeni, diğer özel üçgenlerden daha nadir ve genellikle sınavlarda “trigonometrik bağlantı” sorularında çıkar.Özel üçgenlerin açı-kenar oranlarını bilmek bize sınavda hız kazandırır.

15 75 90 Üçgeni Kuralı ve Kenar Oranları

15 75 90 üçgeni kuralı ve kenar uzunlukları arasındaki ilişki, bu özel üçgenin çözümünde kullanılan temel yöntemleri içerir. Bu kural, geometri problemlerinde bize hız kazandırır ve hipotenüs uzunluğunu kolayca bulmamızı sağlar.

15-75-90 ÜÇGENİ KURALI

Daha önceki bölümde de bahsettiğimiz gibi, 15 75 90 üçgeni kenar uzunlukları kuralının en pratik uygulaması yükseklik ve hipotenüs arasındaki basit orandır: 90 derecelik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğu h ise, hipotenüs uzunluğu daima bunun 4 katıdır, yani 4h 'tır.

Bu kural, trigonometrik değerler gibi karmaşık ifadelerle uğraşmadan hipotenüs uzunluğunu bulmanın en hızlı yoludur.

h-4h İspatı” (Süper Üçlü Yöntemi)

h-4h ispatı için "Süper Üçlü" (Muhteşem Üçlü) kuralını kullanırız:

Hipotenüse h yüksekliğini indirelim.
Daha sonra Süper üçlüyü kullanmak için hipotenüsü iki eşit parçaya bölecek kenarortayı çizelim.
Oluşan 30-60-90 özel üçgeninden yararlanılır: 30 derece’nin karşısına h dediğimiz zaman 90 derecenin karşısına 2h gelecektir
Süper üçlüden kenarortayın ayırdığı parçalar da 2h olduğundan, hipotenüsün tamamı 2h+2h=4h olur

15°-75°-90° Üçgeninin Kenar Bağıntıları

Diğer dik üçgenlerde olduğu gibi 15 75 90 üçgeninde de kenarlar arasında sabit bir oran vardır. Geometrinin diğer kurallarından bu oranı kendiniz elde edebilirsiniz.

Ancak ezberlemek isterseniz kenar oranları arasında özel bir bağıntı da vardır.

15-75-90 üçgeninde, eğer 15 derecelik açının karşısındaki kenar uzunluğuna x dersek, diğer kenarların oranı şu şekilde oluşur:

15 derecenin karşısı (Küçük Dik Kenar): x
75 derecenin karşısı(Büyük Dik Kenar):x.(2 + √3)
90 derecenin karşısı (Hipotenüs):√¯x.(8+ 4√3)

Trigonometrik Bağlantılar

1-Dik üçgen tanımıyla başlıyoruz:

sin 15 = karşı küçük kenar/hipotenüs ile bulunur

Burada h = hipotenüs,a= küçük karşı kenar olarak adlandırılır

2-Küçük kenarı bulmak için:

a=h⋅sin⁡15°a = h. sin15°

3-Yaklaşık değer:

sin⁡15°≈0.2588≈1/4

O yüzden: a≈h/4

15 75 90 Üçgeni Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek 1

ÖRNEK SORU 1:Soru:

Soru: Bir dik üçgenin dar açıları 15 ve 75 ‘dir. Hipotenüs uzunluğu 12 cm olduğuna göre, bu üçgenin alanı kaç cm2?

Çözüm:

Adım 1: Hipotenüse Ait Yüksekliği Bulma
- Bu bir 15-75-90 üçgenidir.
- Hipotenüse ait yükseklik (h), hipotenüsün (a) dörtte biridir: h= a/4
- Verilen: Hipotenüs (a) = 12 cm
- Yükseklik (h) =12/4= 3cm

Adım 2: Üçgenin Alanını Hesaplama
- Bir üçgenin alanı, taban x yükseklik/2 formülüyle bulunur.
- Dik üçgenlerde hipotenüs taban olarak alındığında, ona ait yükseklik kullanılır.
- Alan=12.3/2

Cevap: Üçgenin alanı 18 cm2

Örnek 2

Soru: Bir 15 75 90 üçgeninde kısa kenar 3 cm ise hipotenüs nedir?

Çözüm:

Küçük kenar = (h/4 = 3 h = 12) cm

Örnek 3

Buna göre 75°’nin karşısındaki kenar ve hipotenüs uzunluğu kaç cm’dir

Çözüm:
Kenar oranı: 1 : (2 + √3) : (√6 + √2)
15° karşısı → 4 cm ise,
75° karşısı = 4 × (2 + √3)
Hipotenüs = 4 × (√6 + √2)

Cevap:
75° karşısı ≈ 14.93 cm
Hipotenüs ≈ 15.45 cm

İleri Kaynaklar ve Test

Bu konuda ustalaşmak ve TYT- AYT ye eksiksiz hazırlanmak için aşağıdaki kaynakları kullanabilirsiniz

📥 PDF DERS NOTU İNDİR

📲 Bu Konuyu Tahta App’te Test Et!: 15-75-90 Üçgeni konusuna ait yüzlerce çözümlü TYT ve AYT sorusunu şimdi Tahta App üzerinden çözerek bilginizi pekiştirin!

Neden 15 75 90 Üçgenini Öğrenmelisiniz?

TYT ve AYT geometri sorularında kritik
Trigonometrik oranları hızlı hesaplama imkânı sağlar

Diğer özel üçgenlerle kıyaslama yapmayı kolaylaştırır.

SSS

1. 15 75 90 üçgeni hangi özel üçgen grubuna girer?

Özel Dik üçgenler grubuna girer ve trigonometrik özel üçgenlerden biridir.

2. 15 75 90 üçgeninde kenar oranları nelerdir?

15 derecenin karşısı x ise 75 derecenin karşısı x çarpı 2+√3 ve hipotenüsün uzunluğu√¯ x( 8 + 4√3).

3. 15 75 90 üçgeni nasıl ispatlanır?

Trigonometrik oranlar (sin 15°, cos 75°) ve dik üçgen kuralları kullanılarak ispatlanır
75 derecelik açıdan yardımcı doğru çizilerek 30 derece 60 derece ve 90 derece üçgeni ve ikizkenar üçgenler oluşturarak ispatlanır..