Basit Harmonik Hareket Nedir? Formüller, Periyot, Hız ve İvme
Yay–kütle sisteminden basit sarca kadar tüm BHH formülleri, sınav odaklı çözümlü sorular ve sık yapılan hatalar bu belgede yer almaktadır.
Basit Harmonik Hareket Nedir?
Basit harmonik hareket (BHH), bir cismin denge konumu etrafında, doğrusal bir geri çağırıcı kuvvetin etkisiyle yaptığı düzenli, periyodik harekettir. Bu harekette cismi her zaman denge noktasına doğru çeken bir kuvvet vardır ve bu kuvvetin büyüklüğü, cismin denge noktasından uzaklığıyla doğru orantılıdır.
Basit harmonik hareketin matematiksel şartı: F = −kx — Burada kuvvet, yer değişimiyle orantılı ve yönü her zaman dengeye doğrudur.
🔍 Günlük Hayattan Örnekler Yaya asılı kütle, sarkaç saatin sarkacı, titreşen gitar teli, araba amortisörleri ve hatta moleküllerin titreşimi — hepsi basit harmonik harekete örnek gösterilebilir. TYT ve AYT'de en sık sorulan sistemler ise yay–kütle sistemi ve basit sarkaçtır. |
Basit Harmonik Hareketin Temel Kavramları
BHH problemlerini çözebilmek için dört temel kavramı net biçimde bilmek gerekir. Bu kavramları karıştırmak, formülleri yanlış uygulamaya yol açar.
⚖️ Denge Konumu Cismin üzerindeki net kuvvetin sıfır olduğu nokta. BHH'de tüm hareketi bu noktaya göre tanımlarız. x = 0 | 📏 Genlik (A) Cismin denge konumundan uzaklaşabileceği maksimum mesafe. Hız bu noktada sıfır, ivme maksimum. x = ±A |
⏱️ Periyot (T) Cismin bir tam titreşim yapması için geçen süre. Birimi saniyedir (s). Genlikten bağımsızdır. T (saniye) | 〰️ Frekans (f) Birim zamanda yapılan titreşim sayısı. Birimi Hertz (Hz). Periyotla ters orantılıdır. f = 1/T |
Açısal frekans (ω): ω = 2πf = 2π/T — Saniyede kaç radyan döndüğünü gösteren büyüklük. BHH denklemlerinde en çok karşılaşılan ifadedir.
Basit Harmonik Hareket Formülleri
BHH'yi tanımlayan üç temel denklem vardır: konum, hız ve ivme. Bu üçünü birlikte anlamak, sınav sorularının büyük çoğunluğunu çözmenizi sağlar.
Konum (Uzam) Denklemi
Cismin herhangi bir andaki konumunu veren denklem sinüs veya kosinüs fonksiyonu biçimindedir. Cisim denge konumundan hareket ediyorsa sinüs, genlik noktasından hareket ediyorsa kosinüs kullanılır.
KONUM DENKLEMİ |
x = A · sin(ωt) |
A = genlik (m) · ω = açısal frekans (rad/s) · t = zaman (s) |
A = genlik (m) | ω = açısal frekans (rad/s) | t = zaman (s) | x = anlık konum (m) |
Basit Harmonik Hareket Hız Formülü
Hız denklemi, cismin denge noktasında maksimum, genlik noktasında ise sıfır olduğunu gösterir. Denge noktasında potansiyel enerji sıfır, kinetik enerji maksimum; genlik noktasında tam tersi geçerlidir.
BASIT HARMONIK HAREKET HIZ FORMÜLÜ |
v = ω · √(A² − x²) |
x = 0 iken v_max = ω·A (maksimum hız). x = ±A iken v = 0 (cisme durur). |
v_max = ω·A | v = 0 → x = ±A | v = max → x = 0 |
Basit Harmonik Hareket İvme Formülü
İvme, her zaman denge noktasına doğrudur. Formüldeki negatif işaret bu yüzden vardır; cisim sağa giderse ivme sola, sola giderse sağa yönelir. Bu, BHH'nin geri çağırıcı kuvvet tanımının doğrudan sonucudur.
BASIT HARMONIK HAREKET İVME FORMÜLÜ |
a = −ω² · x |
x = 0 iken a = 0. x = ±A iken a_max = ω²·A (maksimum ivme). |
a_max = ω²·A | a = 0 → x = 0 | Yön: daima dengeye doğru |
Basit Harmonik Hareket Periyot Formülleri
Periyot, sistemin yapısına bağlıdır. TYT ve AYT'de iki sistem öne çıkar: yay–kütle sistemi ve basit sarkaç. Her ikisinin periyotu farklı değişkenlere bağlıdır.
Yay–Kütle Sistemi: Periyot Formülü
Kütle arttıkça periyot artar; yay sabiti arttıkça periyot azalır. Kütle 4 katına çıkarsa periyot 2 katına çıkar. Yay sabiti 4 katına çıkarsa periyot yarıya düşer.
YAY–KÜTLE PERIYOT FORMÜLÜ |
T = 2π · √(m/k) |
m = kütle (kg) · k = yay sabiti (N/m) · ω = √(k/m) |
m = kütle (kg) | k = yay sabiti (N/m) | ω = √(k/m) |
Basit Sarkaç Periyot Formülü
En kritik nokta: kütlenin periyodu etkilememesidir. 10 gram ile 100 gram sarkaç, aynı uzunlukta asılıysa birebir aynı sürede titreşir. Bu TYT'de çok sık yanıltıcı soru olarak karşınıza çıkar.
BASIT SARKAÇ PERIYOT FORMÜLÜ |
T = 2π · √(L/g) |
Kütle periyodu ETKİLEMEZ! Uzunluk 4x → periyot 2x. Yer çekimi azalırsa periyot artar. |
L = sarkaç boyu (m) | g = yer çekimi (m/s²) | Kütle → etkisiz |
📊 Periyot–Frekans İlişkisi Her iki sistemde de: f = 1/T ve T = 1/f. Örneğin T = 0,5 s ise f = 2 Hz (saniyede 2 titreşim). |
Basit Harmonik Hareket Formülü — Özet Tablo
Tüm BHH formülleri aşağıdaki tabloda bir arada. Formülleri ezberlemek yerine her birinin fiziksel anlamını kavramaya çalışın.
Büyüklük | Formül | Özel Durum |
Konum | x = A·sin(ωt) | x ∈ [−A, +A] |
Hız | v = ω·√(A²−x²) | v_max = ωA (x=0) |
İvme | a = −ω²·x | a_max = ω²A (x=±A) |
Açısal frekans | ω = 2π/T | ω = 2πf |
Periyot (yay) | T = 2π·√(m/k) | ω = √(k/m) |
Periyot (sarkaç) | T = 2π·√(L/g) | Kütleden bağımsız |
Frekans | f = 1/T | Birimi Hz |
Çözümlü Örnek Sorular (TYT–AYT)
Aşağıdaki çözümlü sorular, TYT ve AYT'de en sık karşılaşılan BHH soru tiplerine göre hazırlanmıştır.
Soru 1 TYT Yay sabiti k = 400 N/m olan bir yaya m = 1 kg kütle asılıyor. Periyot kaç saniyedir? |
→ Formülü yazıyoruz: T = 2π·√(m/k) |
→ Değerleri koyuyoruz: T = 2π·√(1/400) = 2π·(1/20) = π/10 |
→ π ≈ 3,14 alınırsa: T ≈ 0,314 s |
✓ T = π/10 ≈ 0,314 s |
Soru 2 TYT L = 1 m uzunluğundaki basit sarcın periyodu nedir? (g = 10 m/s²) Bu saraca 8 kg kütle asılsaydı periyot değişir miydi? |
→ Sarkaç formülü: T = 2π·√(L/g) = 2π·√(1/10) = 2π/√10 ≈ 2 s |
→ Kütle değişimi: Basit sarcın periyotu kütleye bağlı değildir. 8 kg asılsa da T ≈ 2 s olur. |
✓ T ≈ 2 s · Kütle değişince T değişmez |
Soru 3 AYT Genliği A = 5 cm, açısal frekansı ω = 10 rad/s olan BHH yapan cismin maksimum hızı ve x = 3 cm konumundaki hızı nedir? |
→ Maksimum hız: v_max = ω·A = 10 × 0,05 = 0,5 m/s |
→ x = 3 cm için: v = ω·√(A²−x²) = 10·√(0,05²−0,03²) |
→ = 10·√(0,0025−0,0009) = 10·√(0,0016) = 10×0,04 = 0,4 m/s |
✓ v_max = 0,5 m/s · v(3cm) = 0,4 m/s |
Soru 4 AYT x = 2 cm'de ivme a = −8 m/s² ise ω değeri ve A = 4 cm'deki maksimum ivme nedir? |
→ İvme formülü: a = −ω²·x → −8 = −ω²·(0,02) → ω² = 400 → ω = 20 rad/s |
→ a_max: a_max = ω²·A = 400 × 0,04 = 16 m/s² |
✓ ω = 20 rad/s · a_max = 16 m/s² |
Soru 5 AYT x–t grafiğinde A = 8 cm, T = 4 s okunmuştur. Açısal frekans, maksimum hız ve maksimum ivme nedir? |
→ Açısal frekans: ω = 2π/T = 2π/4 = π/2 ≈ 1,57 rad/s |
→ Maksimum hız: v_max = ω·A = (π/2)·0,08 = 0,04π ≈ 0,126 m/s |
→ Maksimum ivme: a_max = ω²·A = (π²/4)·0,08 ≈ 0,197 m/s² |
✓ ω = π/2 rad/s · v_max ≈ 0,13 m/s · a_max ≈ 0,20 m/s² |
Sık Yapılan Hatalar
TYT ve AYT'de BHH sorularında öğrencilerin en çok yanıldığı üç hata türü:
⚡ Hızın Genlikte Maksimum Olduğunun Sanılması Sezgisel olarak en uçta hız en yüksekmiş gibi düşünülür; oysa genlikte (x = ±A) hız sıfırdır. ✓ Hız, denge noktasında (x = 0) maksimum; genlik noktasında sıfırdır. |
🔄 İvmenin Yönünün Yanlış Belirlenmesi a = −ω²x formülündeki negatif işaret göz ardı edilir. Cisim x > 0 yönündeyse ivme negatif (dengeye doğru) olmalıdır. ✓ İvme her zaman denge noktasına doğrudur; x ile ters yönlüdür. |
⚖️ Sarkaçta Kütlenin Periyodu Etkilediğinin Sanılması T = 2π·√(L/g) formülünde kütle (m) hiç yoktur. Farklı ağırlıktaki sarkançlar aynı uzunlukta eşit sürede salınır. ✓ Basit sarcın periyotu yalnızca uzunluğa (L) ve yer çekimine (g) bağlıdır. |
Sıkça Sorulan Sorular
Basit harmonik hareket nedir, kısaca açıklar mısın? Basit harmonik hareket (BHH), bir cismin denge konumu etrafında, büyüklüğü konumla orantılı ve yönü daima dengeye doğru olan bir kuvvetin etkisiyle yaptığı periyodik titreşim hareketidir. Matematiksel şartı F = −kx bağıntısıdır.
Basit harmonik harekette hız nerede maksimum, nerede sıfır olur? Hız, denge noktasında (x = 0) maksimum değerini alır; v_max = ω·A. Genlik noktalarında (x = ±A) ise hız sıfırdır çünkü cisim yön değiştirmek için anlık olarak durur.
Basit harmonik harekette ivme nerede maksimum olur? İvme, genlik noktalarında (x = ±A) maksimum değerini alır; a_max = ω²·A. Denge noktasında (x = 0) ise ivme sıfırdır. İvme her zaman denge noktasına doğrudur, yani konumla ters yönlüdür.
Basit sarkaçta kütle periyodu etkiler mi? Hayır. Basit sarkaç periyot formülü T = 2π·√(L/g) olduğu için periyot yalnızca sarkacın uzunluğuna (L) ve yer çekimi ivmesine (g) bağlıdır. Kütlenin büyüklüğünün herhangi bir önemi yoktur.
Yay–kütle sisteminde periyot nasıl değişir? Yay–kütle sisteminde periyot T = 2π·√(m/k) formülüyle hesaplanır. Kütle (m) artarsa periyot artar; yay sabiti (k) artarsa periyot azalır. Kütle 4 katına çıkarsa periyot 2 katına çıkar, yay sabiti 4 katına çıkarsa periyot yarıya düşer.
